Türkçe Bilgi: Bessel fonksiyonu

Bessel fonksiyonları, Bessel diferansiyel denkleminin y(x) şeklindeki kanonik çözümleridir: :

x^2 \frac + x \frac + (x^2 - \alpha^2)y = 0

Burada α (Bessel fonksiyonunun derecesi) keyfi bir gerçel veya karmaşık sayıdır. α için en sık ve önemli durum, değişkenin bir tamsayı mı yoksa yarım-tamsayı mı olduğudur. α ve −α aynı diferansiyel denklemi üretmesine rağmen, genelde bu iki derece için farklı Bessel fonksiyonları tanımlamak tercih edilir. (örneğin, böylece Bessel fonksiyonları çoğunlukla α'nın düzgün fonksiyonlarıdır). Bessel fonksiyonları silindirik fonksiyonlar veya silindirik harmonikler olarak da bilinir; çünkü fonksiyonlar Laplace denkleminin Silindirik koordinat sistemi'nde çözümünden elde edilir. Bessel Fonksiyonunun Uygulamaları Laplace denklemi ve Helmholtz denklemi'ne silindirik veya küresel koordinatlar'da ayrılabilir çözümler bulma sırasında Bessel denklemi ortaya çıkar. Bessel fonksiyonları dalga yayılımı ve statik potansiyelleri gibi pek çok sorun için bu nedenle özellikle önemlidir. Silindirik koordinat sistemlerinde problemleri çözmede Bessel fonksiyonları, bir tamsayı dereceli (α = n) değer alır; küresel sorunları çözmede, bir yarım tamsayı değeri alır (α = n+½). Örnekler: *Silindirik bir dalga kılavuzu'nun içindeki elektromanyetik dalgalar'lar *Silindirik bir nesnede ısı aktarımı *Bir ince dairesel titreşimde Modlar (veya halkası) yapay membran (bir davul veya diğer membranofon gibi) *Bir kafes üzerine Difüzyon sorunları Serbest parçacık için radyal Schrödinger denklemi (Küresel ve silindirik koordinatlarda) ve çözümleri *Akustik radyasyon desenlerinin çözümü Bessel fonksiyonlarının ayrıca, sinyal işleme gibi başka sorunlar (örneğin, FM sentezi, Kaiser penceresi veyaBessel filtresi'ne bakınız) için yararlı özelliği var. Tanımlamalar Bu ikinci dereceden diferansiyel denklem olduğundan, iki lineer bağımsız çözüm bulunmalıdır. bununla birlikte koşullara bağlı olarak,, bu çözümler çeşitli formülasyonlara uygun olmaktadır, ve farklı varyasyonlar aşağıda tarif edilmektedir.

Birinci türden Bessel fonksiyonları : J_α

Bessel fonksiyonunun ilk türü ,J_α(x)ifadesi olan Bessel diferansiyel denkleminin çözümüdür bu orijinde sonludur α tamsayısı için (x=0),α'nın negatif tamsayı olmayan değerleri için x sıfıra yaklaştıkça sapıyor.Çözüm tipi (e.g., tamsayı veya tamsayı olmayan) ve özellikler tarafından tanımlanan J_α(x)'ın normalizasyonu aşağıdadır,tahminen x=0 çevresinde Taylor serisi açılımı ile fonksiyonun tanımı: :

J_\alpha(x) = \sum_^\infty \frac x\right)}^

burada Γ(z) gama fonksiyonu'dur,Faktöriyel fonksiyonun tamsayı olmayan değerlerinin bir genellemesidir. Bessel fonksiyonları sin veya cos fonksiyonlarındaki grafiklere kabaca benziyor,salınımdaki bu bozunma 1/√x la orantılı (ayrıca asimptotik formları aşağıda),büyük x lar için asimptotiklik hariç kökleri olmasına rağmen genelde periyodik değildir,. (Taylor serisi olduğunu gösterir −J₁(x) J₀(x)'nin türevidir,−sinx ın cosx ın türevi olmas gibi;daha geneli,J_n(x) nin türevi aşağıda kimliği tarafından J_n±1(x) terimleri içinde ifade edilebilir.) Tamsayı olmayan α lar için fonksiyonların Jα (x) ve J-α (x) doğrusal bağımsızdır ve bu nedenle denklemin iki çözümü vardır.Diğer taraftan, tamsayı dereceli α için, aşağıdaki ilişki (negatif tamsayı argümanlar için Gamma fonksiyonun sonsuz değerler aldığını unutmayın) geçerlidir: :

J_(x) = (-1)^n J_(x).\,

Bu iki çözüm artık lineer bağımsız olduğu anlamına gelir. Bu durumda, ikinci bir lineer bağımsız çözüm daha sonra aşağıda anlatıldığı gibi, ikinci tür Bessel fonksiyonu olarak tespit edilir.

Bessel integrali

Diğer tanım ,

n

'in tamsayı değerleri için Bessel fonksiyonun,integral gösterimi mümkündür: :

J_n(x) = \frac \int_0^\pi \cos (n \tau - x \sin \tau) \,\mathrm\tau.

Diğer integral gösterimi: :

J_n (x) = \frac \int_^\pi e^\,(n \tau - x \sin \tau)} \,\mathrm\tau.

Bu, Besselin kullandığı yaklaşım ve fonksiyonun bu tanımdan türetilen çeşitli özellikleri vardır ve belki tamsayı-olmayan değerler (

\Re(x) > 0

için)ile tanımı genişletilebilir. :

J_\alpha(x) =  \frac \int_0^\pi \cos(\alpha\tau- x \sin\tau)\,d\tau   - \frac \int_0^\infty   e^ \, dt,

veya

\alpha > -\frac

için tarafından :

J_\alpha(x)= \frac\Gamma(\alpha + \frac) \sqrt\, x^\alpha} \int_0^x (x^2-\tau^2)^\cos \tau \, d\tau.

Hipergeometrik seriler ile ilişkisi

Bessel fonksiyonları genelleştirilmiş hipergeometrik serisi terimleri cinsinden ifade edilebilir :

J_\alpha(x)=\frac \;_0F_1 (\alpha+1; -\tfracx^2).

Bessel-Clifford fonksiyonu Bessel fonksiyonların geliştirilmesi ile elde edilmiştir.

Laguerre polinomları ile ilişkisi

Bessel fonksiyonu

L_k

ve keyfi olarak seçilen parametre

t

olmak üzere Laguerre polinomları cinsinden ifade edilebilir :

\frac\right)^\alpha}= \frac} \sum_ \frac\left( \frac\right)} \frac.

İkinci türden Bessel fonksiyonları: Y_α

Yα(x) ile gösterilen Ikinci türden Bessel fonksiyonları, bazen Nα(x) yerine gösterilebilir, Bessel diferansiyel denkleminin çözümleridir. (x = 0 ,kökenli bir tekillik var ).Bunlara Heinrich Martin Weber anısına bazen 'Weber fonksiyonları ve ayrıca Carl Neumann anısına Neumann fonksiyonları' denir. α tamsayı değilse, Yα(x) fonksiyonu ile Jα(x) arasında şu ilişki vardır: : $Y_\alpha(x) = \frac(x)}.$ Bu durumdan tamsayı olarak alınırsa, α bir tamsayı değilse bu tanımla limit alınırsa 'n' şu eğilimdedir: : $Y_n(x) = \lim_ Y_\alpha(x).$ Buna karşılık gelen bir integral formülü vardır( $\Re \ > 0$ için), : $e^ \, dt.$ Bessel denklemi ne zaman ikinci lineer bağımsız çözüm olarak αtamsayısı Yα(x) için gerekli bir tamsayıdır. . ama Yα(x) bundan daha fazla anlama sahiptir, bir 'doğal' eşi Jα(x) ifadesi kabul edilebilir. Ayrıca aşağıda Hankel fonksiyonları için alt bölüme bakın α bir tam sayı olduğu zaman,Ayrıca,birinci tür fonksiyonları için durum benzerdi,ve aşağıdaki ilişki geçerlidir: : $Y_(x) = (-1)^n Y_n(x).\,$ J_α(x) ve Y_α(x)'nin her ikisi de holomorfik fonksiyon'dur of x on the karmaşık düzlem'de negatif gerçek ekseni kesip. Eğer α bir tamsayıdır ise, Bessel fonksiyonlarıJ x 'ın tam fonksiyon'udur. eğer x sabit ise,Bessel fonksiyonları α için tam fonksiyon'dur.

Hankel fonksiyonları: Hα⁽¹⁾, Hα⁽²⁾

Bessel denkleminin için iki doğrusal bağımsız çözümleri için diğer önemli bir formülasyon 'Hankel fonksiyonları'dır. Hα⁽¹⁾(x) and Hα⁽²⁾(x), tanımları için : : $H_\alpha^(x) = J_\alpha(x) + i Y_\alpha(x)$ : $H_\alpha^(x) = J_\alpha(x) - i Y_\alpha(x)$ Burada i sanal birim'dir. Bu lineer kombinasyon ayrıca 'Üçüncü tür Bessel fonksiyonları' olarakta bilinir; bunlar Bessel diferansiyel denklemi iki lineer bağımsız çözümlerdir.Fonksiyonun ismi Hermann Hankelanısınadır. Birinci ve ikinci tür Hankel fonksiyonların önemi teorik gelişme yerine uygulamada yatmaktadır. Lineer kombinasyonu bu formları asimptotik formüller veya entegre gösterimleri gibi, çok sayıda basit görünümlü özellikler taşır. $e^$ Hankel fonksiyonları sırasıyla, silindirik dalga denkleminin dışa ve içe yayılan silindirik dalga çözümleri ifade etmek için kullanılır (ya da tersi, bağlı frekans). sinyal mutabakatı için bir önceki ilişkileri kullanılaraki şu şekilde ifade edilebilir : : $H_\alpha^ (x) = \frac (x) - e^ J_\alpha (x)}$ : $H_\alpha^ (x) = \frac (x) - e^ J_\alpha (x)}$ eğer α bir tamsayı ise,limiti hesaplanır. Aşağıdaki ilişkiler geçerlidir, α bir tamsayı veya değil: : $H_^ (x)= e^ H_\alpha^ (x)$ : $H_^ (x)= e^ H_\alpha^ (x).$ Hankel fonksiyonları için aşağıdaki integral gösterimleri kabul edilir : $\Re x > 0$ : : $H_\alpha^ (x)= \frac\int_^ e^ \, dt,$ : $H_\alpha^ (x)= -\frac\int_^ e^ \, dt,$ Burada kontur boyunca integrasyon gösterimi integrasyon sınırlarıdır bunun için aşağıdakiler seçilebilir: −∞ dan 0’a negatif gerçel eksen boyunca, 0’dan ±iπ ‘ye sanal eksen boyunca, ve ±iπ ‘dan +∞±iπ ‘a gerçek eksene paralel bir kontur. Uygulamalı matematikte,'Kelvin fonksiyonları' Berν(x) ve Beiν(x) sırasıyla gerçel ve sanal kısım'dır; : $J_\nu(x e^),\,$ burada x gerçeldir, ve Jν(z), Birinci tür Bessel fonksiyonu yerine ν^inci 'dir. Aynı şekilde,Ker_ν(x) fonksiyonu ve Kei_ν(x) gerçel ve sanal kısımları sırasıyla, $K_\nu(x e^)\,$ , burada $K_\nu(z)\,$ ise ν^inci ikinci tür modifiye Bessel fonksiyonu yerinedir. Fonksiyon adı William Thomson, 1.Baron Kelvin anısınadır.

Modifiye Bessel fonksiyonları: Iα, Kα

x karmaşık değişken ve çift değer için Bessel fonksiyonudur,ve önemli özel bir durum bu tamamen sanal değişkendir. Bu durumdaki, Bessel denklemi çözümleri 'birinci ve ikinci tür modifiye Bessel fonksiyonları olarak adlandırılır (veya zaman zaman hiperbolik Bessel fonksiyonları '),herhangi bir eşdeğer alternatifleri: tarafından : $I_\alpha(x) = i^ J_\alpha(ix) =\sum_^\infty \frac\left(\frac\right)^$ : $K_\alpha(x) = \frac \frac (x) - I_\alpha (x)} = \frac i^ H_\alpha^(ix) = \frac (-i)^ H_\alpha^(-ix).$ Burada gerçek değerler için gerçek ve pozitif değişkenleri x olarak seçilmiştir.Seri açılımı için I_α(x)'dır,böylece buna benzer J_α(x), ancak alternatif olmayan (−1)m faktorüdür. I_α(x) and K_α(x) are modifiye Bessel denklemiiçin iki lineer bağımsız çözümleri: : $x^2 \frac + x \frac - (x^2 + \alpha^2)y = 0.$ Sıradan Bessel fonksiyonlarının aksine, gerçek bir bağımsız değişken fonksiyonları gibi osilasyonu olan değil, I_α ve K_α sırasıyla katlanarak büyüyen ve eksilen fonksiyonlardır. normal Bessel fonksiyonu gibi J_α, fonksiyonuI_α sıfıra gider x = 0 ve α > 0 için sonludur x = 0 , α = 0 için. benzer olarak, K_α x=0 da ıraksar . Modifiye Bessel fonksiyonları için iki integral formülüdür ( $\Re \ > 0$ için): : $I_\alpha(x) = \frac\int_0^\pi \exp(x\cos\theta) \cos(\alpha\theta) d\theta - \frac\int_0^\infty \exp(-x\cosh t - \alpha t) dt ,$ : $K_\alpha(x) = \int_0^\infty \exp(-x\cosh t) \cosh(\alpha t) dt.$ Modifiye Bessel fonksiyonları $K_$ ve $K_$ hızla yakınsaklık için temsil edilebilir. integral : $K_ (\xi) = \sqrt\, \int_0^\infty \, \exp \left \xi \left(1+\frac\right) \sqrt} \right \ dx$ : $K_ (\xi) = \frac} \, \int_0^\infty \, \frac} \exp \left \xi \left(1+\frac\right) \sqrt} \right \ dx$ 'ikinci türden değiştirilmiş Bessel fonksiyonu ayrıca artık nadir isimler tarafından anılmıştır: * Basset fonksiyonu Alfred Barnard Basset anısına * Üçüncü tür Modifiye Bessel fonksiyonu * Modifiye Hankel fonksiyonu * Macdonald fonksiyonuHector Munro Macdonald anısına * Weber fonksiyonu * Neumann fonksiyonu' : $j_(x) = \sqrt} J_(x),$ : $y_(x) = \sqrt} Y_(x) = (-1)^ \sqrt} Y_(x).$ $y_n$ ifadesi $n_n$ ifadesi gibidir veya η_n; bazı yazarlar bu fonksiyonlara 'küresel Neumann fonksiyonları' diyor. Küresel Bessel fonksiyonları( 'Rayleigh Formülleri') olarak da yazılabilir: : $j_n(x) = (-x)^n \left(\frac\frac\right)^n\,\frac ,$ : $y_n(x) = -(-x)^n \left(\frac\frac\right)^n\,\frac.$ İlk küresel Bessel fonksiyonu $j_0(x)$ sinc fonksiyonu (normalize edilmemiş)küresel fonksiyonlar olarakta bilinir. İlk birkaç küresel Bessel fonksiyonları: : $j_0(x)=\frac$ : $j_1(x)=\frac - \frac$ : $j_2(x)=\left(\frac - 1 \right)\frac - \frac$ : $j_3(x)=\left(\frac - \frac \right)\frac -\left(\frac - 1\right) \frac ,$ ve : $y_0(x)=-j_(x)=-\,\frac$ : $y_1(x)=j_(x)=-\,\frac - \frac$ : $y_2(x)=-j_(x)=\left(-\,\frac+1 \right)\frac- \frac$ : $y_\left( x\right)=j_(x) =\left( -\frac}+\frac\right) \frac-\left( \frac}-1\right) \frac.$ Genel eşitlikler : $, \end$ (en büyük tamsayının toplamının üst sınırı az veya eşit (n +1) / 2 olarak anlaşılır); Laguerre polinomları $L_n$ çok terimli (bkz. Bessel polinomu)) ve diğer gösterimler kullanan kapalı bir formu ile sağlanmaktadır. : $\beginI_(x)&=\frac}\left(e^x\cdot L_n^(-2x)-e^\cdot L_n^(2x)\right)\\ &=\frac}}\sum_^\infty\frac\\ &=\frac}(-1)^\sum_^\infty \frack!}.\end$
Üreteç fonksiyonu
Küresel Bessel fonksiyonlarının üreteç fonksiyonları var : $\frac 1 \cos \sqrt= \sum_^\infty \frac j_(z),$ : $\frac 1 \sin \sqrt= \sum_^\infty \frac y_(z) .$
Diferensiyel bağıntılar
Aşağıda $f_n$ herhangi bir $j_n, y_n, h_n^, h_n^$ için $n=0,\pm 1,\pm 2,\dots$ : $\left(\frac\frac\right)^m\left(z^f_n(z)\right)=z^f_(z).$

Küresel Hankel fonksiyonları: hn

Hankel fonksiyonların küresel analogları da vardır: : $h_n^(x) = j_n(x) + i y_n(x) \,$ : $h_n^(x) = j_n(x) - i y_n(x). \,$ Aslında, buradaki yarım-tamsayı'lı Bessel fonksiyonu için kapalı formun basit ifadesidir trigonometrik fonksiyon'lar standart terimlerin yerine kullanılırsa Küresel Bessel fonksiyonu denir.özellikle negatif olmayan n tamsayısı için : : $h_n^(x) = (-i)^ \frac} \sum_^n \frac \frac$ ve burada karmaşık eşlenik $h_n^$ dır the of this (gerçel kısım için $x$ ). Bu aşağıdaki, örnek için , that $j_0(x) = \sin(x)/x$ ve $y_0(x) = -\cos(x)/x$ ,ve benzeri. Küresel Hankel fonksiyonları küresel dalga yayılımı ile ilgili problemlerde görülür, for example in elektromanyetik alana ilişkin çok kutuplu açılım.

Riccati–Bessel fonksiyonu: Sn, Cn, ξn, ζn

Riccati–Bessel fonksiyonları küresel Bessel fonksiyonlarından sadece biraz farklı: : $S_n(x)=x j_n(x)=\sqrt \, J_(x)$ : $C_n(x)=-x y_n(x)=-\sqrt \, Y_(x)$ : $\xi_n(x) = x h_n^(x)=\sqrt \, H_^(x)=S_n(x)-iC_n(x)$ : $\zeta_n(x)=x h_n^(x)=\sqrt \, H_^(x)=S_n(x)+iC_n(x).$ Bu diferansiyel denklem uygundur: : $x^2 \frac + - n (n+1) y = 0.$ Bu diferansiyel denklem, ve nde, bir küre tarafından yayılan elektromanyetik dalgalar sorununda ,Riccati–Bessel çözümleri olarak ortaya çıkar Mie saçılımı'olarak bilinen çözümleri içeren baskı Mie (1908) anısınadır.
Bakınız
Du (2004)son gelişmeler ve referanslar için . Asimptotik form Bessel fonksiyonunun negatif olmayan α için aşağıda asimptotik formu vardır.Küçük bağımsız değişkenler için $0 < x \ll \sqrt$ ,bir elde: : $J_\alpha(x) \approx \frac \left( \frac \right) ^\alpha$ : $& \text \alpha=0 \\ \\ -\frac \left( \frac \right) ^\alpha & \text \alpha > 0 \end$ burada $\gamma$ Euler–Mascheroni sabiti (0.5772...)dir ve $\Gamma$ ifadesi gama fonksiyonu'dur. büyük bağımsız değişkenler $x \gg |\alpha^2 - 1/4|$ ,bu olur : $K_\alpha(x) \approx \sqrt} e^ \left(1 + \frac - 1} + \frac - 1) (4 \alpha^ - 9)}} + \frac - 1) (4 \alpha^ - 9) (4 \alpha^ - 25)}} + \cdots \right) .$ Benzer şekilde, $\alpha=1/2$ olduğunda son ifadeler hassas olarak doğrudur . Küçük bağımsız değişkenleri için $0 < x \ll \sqrt$ alındığında: : $I_\alpha(x) \approx \frac \left( \frac \right) ^\alpha$ : $K_\alpha(x) \approx \begin - \ln (x/2) - \gamma & \text \alpha=0 \\ \\ \frac \left( \frac \right) ^\alpha & \text \alpha > 0. \end$ Çarpım teoremi Bessel fonksiyonlarına uygun bir çarpım teoremi : $\lambda^ J_\nu (\lambda z) = \sum_^\infty \frac \left(\frac\right)^n J_(z)$ burada $\lambda$ ve $\nu$ rasgele karmaşık sayılar olarak alınabilir.benzer bir formu için şu verilebilir $Y_\nu(z)$ ve benzeri Bourget hipotezi Başlangıçta Besselin kendisi negatif olmayan n tamsayıları için, Jn(x)=0 denkleminin x çözümleri sayısının sonsuz sayıda olduğunu kanıtladı. Jn(x) fonksiyonları aynı grafik üzerine çizildiği zaman,x=0 'sıfır hariç farklı n değerleri için denk gibi görünüyor.Bessel fonksiyonlarının '

Bourget hipotezi

' olarak bilinen bu fenomenini inceleyip gösteren ondokuzuncu yüzyıl Fransız matematikçisinin ismine atfedilmiştir Özellikle Jn(x) ve Jn+m(x) fonksiyonları, n≥0 ve m≥1 gibi herhangi bir tamsayı durumu dışında x=0 hariç başka hiçbir ortak sıfır olmadığını belirtiyor.Hipotez 1929 yılında Carl Ludwig Siegel tarafından kanıtlandı.Watson, pp.484–5 Seçilmiş eşitlikler * $I_ \left(z\right)= \sqrt}\cosh(z) ;$ * $I_ \left(z\right)= \sqrt}\sinh(z) ;$ * $I_\nu(z)=\sum_ \frac J_(z);$ * $J_\nu(z)=\sum_ (-1)^k \frac I_(z);$ * $I_\nu (\lambda z)= \lambda^\nu \sum_ \frac I_(z);$ * $I_\nu (z_1+z_2)= \sum_^\infty I_(z_1)I_k(z_2),\quad J_\nu(z_1\pm z_2)= \sum_^\infty J_(z_1)J_k(z_2);$ * $J_\nu(z)=\frac z (J_(z)+J_(z)), \quad I_\nu(z)=\frac z (I_(z)-I_(z));$ * $J_\nu'(z)=\tfrac (J_(z)-J_(z))\quad(\nu\neq 0), \quad J_0'(z)=-J_1(z), \quad I_\nu'(z)=\tfrac(I_(z)+I_(z));$ * $\left(\tfracz\right)^\nu= \Gamma(\nu)\cdot \sum_ I_(z)(\nu+2k) = \Gamma(\nu)\cdot\sum_(-1)^k J_(z)(\nu+2k) = \Gamma(\nu+1)\cdot \sum_\frac 1\left(\tfrac1 2z\right)^k J_(z).$ * $K_\frac(z)=\sqrt} \mathrm^z^,\, z>0$ Bakınız * Anger fonksiyonu * Bessel–Clifford fonksiyonu * Bessel polinomları * Fourier–Bessel serisi * Frekans modülasyonu * Hahn–Exton q-Bessel fonksiyonu * Hankel dönüşümü * Jackson q-Bessel fonksiyonu * Jacobi–Anger açılımı * Kelvin fonksiyonu * Lommel fonksiyonu * Lommel polinomları * Neumann polinomları * Yayıcı * Struve fonksiyonu * Dairesel davul titreşimleri * Weber fonksiyonu * Wright genelleştirilmiş Bessel fonksiyonu Notlar Kaynaklar * * Arfken, George B. and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 6th edition (Harcourt: San Diego, 2005). ISBN 0-12-059876-0. * Bayin, S.S. Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, 2006, Chapter 6. * Bayin, S.S., Essentials of Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, 2008, Chapter 11. * Bowman, Frank Introduction to Bessel Functions (Dover: New York, 1958). ISBN 0-486-60462-4. * G. Mie, "Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen", Ann. Phys. Leipzig '25' (1908), p.377. * * * B Spain, M.G. Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 9 deals with Bessel functions. * N. M. Temme, Special Functions. An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1996. ISBN 0-471-11313-1. Chapter 9 deals with Bessel functions. * Watson, G.N., A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Second Edition, (1995) Cambridge University Press. ISBN 0-521-48391-3. Dış bağlantılar * * * * Wolfram function pages on Bessel J and Y functions, and modified Bessel I and K functions. Pages include formulas, function evaluators, and plotting calculators. * Wolfram Mathworld – Bessel functions of the first kind *Bessel functions J_ν, Y_ν, I_ν and K_ν in Librow Function handbook.

Bessel Fonksiyonu

Birinci türden Bessel fonksiyonları : J_α

Bessel integrali

Hipergeometrik seriler ile ilişkisi

Laguerre polinomları ile ilişkisi

İkinci türden Bessel fonksiyonları: Y_α

Hankel fonksiyonları: Hα⁽¹⁾, Hα⁽²⁾

Modifiye Bessel fonksiyonları: Iα, Kα

Üreteç fonksiyonu

Diferensiyel bağıntılar

Küresel Hankel fonksiyonları: hn

Riccati–Bessel fonksiyonu: Sn, Cn, ξn, ζn

Bakınız

Bourget hipotezi

Jackson q-Bessel fonksiyonu

Lommel fonksiyonu

Özel fonksiyonlar

Matematiksel fonksiyonların listesi

Skellam dağılımı

Ters Gama fonksiyonu

Fourier Dönüşümü

Normal Dağılım

Bessel Fonksiyonu

Bessel Fonksiyonu Hakkında Detaylı Bilgi

Birinci türden Bessel fonksiyonları : Jα

Bessel integrali

Hipergeometrik seriler ile ilişkisi

Laguerre polinomları ile ilişkisi

İkinci türden Bessel fonksiyonları: Yα

Hankel fonksiyonları: Hα(1), Hα(2)

Modifiye Bessel fonksiyonları: Iα, Kα

Üreteç fonksiyonu

Diferensiyel bağıntılar

Küresel Hankel fonksiyonları: hn

Riccati–Bessel fonksiyonu: Sn, Cn, ξn, ζn

Bakınız

Bourget hipotezi

Görüşler ve Yorumlar

Okuma Önerileri

Jackson q-Bessel fonksiyonu

Lommel fonksiyonu

Özel fonksiyonlar

Matematiksel fonksiyonların listesi

Skellam dağılımı

Ters Gama fonksiyonu

Fourier Dönüşümü

Normal Dağılım

Birinci türden Bessel fonksiyonları : J_α

İkinci türden Bessel fonksiyonları: Y_α

Hankel fonksiyonları: Hα⁽¹⁾, Hα⁽²⁾