Laguerre Polinomları

Kısaca: Laguerre polinomları, matematik'te adını Edmond Laguerre'den (1834 – 1886) almıştır. Kanonik (benzer) adlandırma Laguerre denklemi'dir: ...devamı ☟

Laguerre polinomları, matematik'te adını Edmond Laguerre'den (1834 – 1886) almıştır. Kanonik (benzer) adlandırma Laguerre denklemi'dir: : x\,y + (1 - x)\,y' + n\,y = 0\, İkinci mertebeden bir lineer diferansiyel denklem'dir. Bu denklemin tekil olmayan çözümleri yalnızca n negatif olmayan tamsayı ise vardır. Laguerre polinomlarının sayısal integral hesaplaması için Gaussian dördünü kullanılan formudur : \int_0^\infty f(x) e^ \, dx. L0,L1,..., şeklindeki bu polinomları, tanımlayabilmek için Rodrigues formülü tarafından polinomal dizi kullanılmalıdır : L_n(x)=\frac\frac\left(e^ x^n\right). Diğer önemli her bir iç ürün ortogonal polinomlar tarafından verilir. :\langle f,g \rangle = \int_0^\infty f(x) g(x) e^\,dx. Laguerre polinomlarının dizisi bir Sheffer dizisi'dir. Laguerre polinomları kuantum mekaniği'nde tek-elektronlu atomun (Hidrojen atomu) Schrödinger denklemi'nin radyal kısmının çözümlemesinde ortaya çıkar. Laguerre polinomları için Fizikte sıklıkla kullanılan bir tanım , n!, gibi bir faktör tarafından burada kullanılan tanımdır. İlk birkaç polinom İlk birkaç Laguerre polinomları:
n L_n(x)\,
0 1\,
1 -x+1\,
2 } (x^2-4x+2) \,
3 } (-x^3+9x^2-18x+6) \,
4 } (x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \,
5 } (-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120) \,
6 } (x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720) \,
Tümevarımsal tanım Tümevarımsal olarak '
Laguerre polinomları''nın tanımını yapabiliriz, tanımdaki ilk iki polinom: :L_0(x) = 1\, :L_1(x) = 1 - x\, ve izleyen polinomlar için özyineleme ile k≥1 'i kullanabiliriz: :L_(x) = \frac \left( (2k + 1 - x)L_k(x) - k L_(x)\right). Genelleştirilmiş Laguerre polinomları ortogonal özellikli durumda üstel dağılım rasgele değişken ile olasılık ağırlık fonksiyonu ise; X ile eşdeğer gösterim :f(x)=\left\ e^ & \mbox\ x>0, \\ 0 & \mbox\ x<0, \end\right. buradan :E \left L_n(X)L_m(X) \right=0\ \mbox\ n\neq m. üstel dağılım sadece gamma dağılımı değildir. önemli Bir polinomal dizi orthogonal olasılık ağırlık fonksiyonunun gama dağılımı için ,α>−1, :f(x)=\left\ x^\alpha e^/\Gamma(1+\alpha) & \mbox\ x>0, \\ 0 & \mbox\ x<0, \end\right. ('Genelleştirilmiş Laguerre polinomu için Rodrigues tanımı ile verilen gama fonksiyonu içeren denklemi görebiliriz): :L_n^(x)= e^x \over n!} \left(e^ x^\right). Bazen 'uyarlanmış Laguerre polinomları' olarak adlandırılır;genelleştirilmiş Laguerre polinomlarının α = 0 durumunda düzenlenmiş polinomları Basit Laguerre polinomları: :L^_n(x)=L_n(x).

Genelleştirilmiş Laguerre polinomları

nın özellikleri ve açık örnek * melez hipergeometrik fonksiyon tarafından tanımlanan Laguerre fonksiyonları ve Kummer dönüşümü ** L_n^(x):= M(-n,\alpha+1,x)= \sum_ (-1)^i \fracx^i\, = e^x\cdot M(\alpha+n+1,\alpha+1,-x)=\fracL_^(-x)=e^x\cdot\sum_(-1)^i \frac. ** Eğer n bir tamsayı ise the function reduces to bir polinomun derecesi n. alternaif bir ifade L_n^(x)= \frac U(-n,\alpha+1,x) içindeki Kummer fonksiyonu'nun ikinci türü terimleridir . * Genelleştirilmiş Laguerre polinomunun derecesi n ise L_n^ (x) = \sum_^n (-1)^i \frac ( diferansiyasyon için Leibniz teoremi tarafından uygulanan Rodrigues' formülü ile eşdeğer eldesi.) ** İlk birkaç genelleştirilmiş Laguerre polinomları: : L_0^ (x) = 1 : L_1^(x) = -x + \alpha +1 : L_2^(x) = \frac - (\alpha + 2)x + \frac : L_3^(x) = \frac + \frac - \frac + \frac ** ilk terimleri is (−1)
n/n! katsayı'sıdır; ** L_n^(0)= \approx \frac; merkezindeki değer sabit terim'dir. * hesaplamada kullanılan genelleştirilmiş Laguerre polinomları için açık formülü Horner metodu sağlar, bunula beraber, algoritma sonuçları kararlı' değildir. izlenen kararlı metod: 'function LaguerreL(n, alpha, x) return' LaguerreL; } * Ln(α) ile n gerçel,kökler kesinlikle pozitif (burada \left((-1)^ L_^\right)_^n bir Sturm zinciri'dir), bütün (0, n+\alpha+ (n-1) \sqrt] aralık'ı içindedir . * n'in büyük değerleri için polinomun asimptotik davranışı \alpha sabit ve x>0, verilirse, :L_n^(x) \approx \frac-\frac}}} \frac}}+\frac}} \cos\left(2 \sqrt\right)}- \frac\left(\alpha+\frac \right) \right), and :L_n^(-x) \approx \frac-\frac}}} \frac}}+\frac}} \exp\left(2 \sqrt\right)} \right).. Kaynaklar * Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), " Chapter 22", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4 . * B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 10 deals with Laguerre polynomials. * Eric W. Weisstein, " Laguerre Polynomial", From MathWorld – A Wolfram Web Resource. * * S. S. Bayin (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 3.

Kaynaklar

Vikipedi

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.

Özel fonksiyonlar
6 yıl önce

Bernoulli polinomları Bessel fonksiyonları Lagrange polinomları Laguerre polinomları Legendre polinomları Laguerre polinomları Chebyshev polinomları Beta fonksiyonu...

Rodrigues formülü
6 yıl önce

P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right].} Laguerre polinomları L0, L1, ..., genel durumu için Rodrigues formülü L n ( x ) = e x...

Matematiksel fonksiyonların listesi
3 yıl önce

teorisi'nden. Scorer'in fonksiyonu Sinc fonksiyonu Hermite polinomları Laguerre polinomları Chebyshev polinomları Riemann zeta fonksiyonu: Bir özel durum Dirichlet...

Lazer
3 yıl önce

koordinatlarda simetrik olan ışınlar için ise Laguerre-Gaussian modları kullanılır ve bu modlar genel Laguerre polinomları cinsinden yazılır. Lazerde nüfus terslenmesinin...

Lazer, Foton, Kırmızı, Mavi, Mor, Optik, Renk, Sarı, Taslak, Teknoloji, Turkuaz
Kök bulma algoritması
6 yıl önce

geliştirilmiştir. Bunlar genel olarak, polinomların kompanyon matrisinin bulunması, Laguerre metodu, Bairstow metodu, Durand-Kerner metodu ve daire bölme metodu gibi...

Gama fonksiyonu
3 yıl önce

}e^{-t^{1/z}}\,dt.\,\!} Bazen Gamma fonksiyonu'nun parametrik şekli Laguerre polinomları'nın terimleri içinde verilir; Γ ( z ) = t z ⋅ ∑ n = 0 L n ( z ) ( t...

Gama fonksiyonu, Faktöriyel, Fonksiyon, Karmaşık sayılar, Matematik, Reel sayı, Tam sayılar, Taslak
İstatistiksel terimler, kavramlar ve konular listesi
3 yıl önce

Lachenbruch yöntemi Lagrange çarpanı sınaması (testi) Laguerre çokluterimliler Laguerre polinomları lambda grafiği lambdagram lambda-ölçütü Lancaster ki-kare...