Türkçe Bilgi: Gamma dağılımı

Olasılık dağılımı |

isim    =Gamma|

tip    =yoğunluk|

pdf_image =|

cdf_image =|

parametreler = $k > 0\,$  şekil (reel)
 $\theta > 0\,$  ölçek (reel)|

destek  = $x \ [0; \infty)\!$ |

OYF    = $x^ \frac\,\!$ |

YDF    = $\frac\,\!$ |

ortalama    = $k \theta\,\!$ |

medyan   = basit kapalı form yok|

mod    = $(k-1) \theta\textk \geq 1\,\!$  |

varyans  = $k \theta^2\,\!$ |

çarpıklık  = $\frac{\sqrt{k\,\!$ |

basıklık = $\frac\,\!$ |

entropi  = $k + \ln\theta + \ln\Gamma(k) \!$ 
 $+ (1-k)\psi(k) \!$ |

mf    = $(1 - \theta\,t)^\textt < 1/\theta\,\!$ |

kf    = $(1 - \theta\,i\,t)^\,\!$ |

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında gamma dağılımı iki parametreli bir sürekli olasılık dağılımıdir. Bu parametrelerden biri ölçek parametresi ``θ``; diğeri ise şekil parametresi ``k`` olarak anılır. Eğer ``k`` tamsayı ise, gamma dağılımı ``k`` tane üstel dağılım gösteren rassal değişkenlerin toplamını temsil eder; rassal değişkenlerin her biri nin üstel dağılımı için parametre

\frac

olur.

Karekteristikler

Bir rassal değişken olan ``X``in ``θ`` ölçek parametresi ve ``k`` şekil parametresi ile tanımlanmış bir gamma dağılımı ile ifade edilmesi için şu notasyon kullanılır:

X \sim \Gamma(k, \theta) \,\,\mathrm\,\, X \sim \textrm(k, \theta).

Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Gamma dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde bir gamma fonksiyonu ile ifade edilebilir:

f(x;k,\theta) = x^ \frac

\ \mathrm\ x > 0\,\, \mathrm\,\, k, \theta > 0.

Bu çesit parametrelerle ifade edilme yukarıda verilen bilgi kutusunda ve grafiklerde kullanılmıştır.

Alternatif bir şekilde, gamma dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu bir şekil parametresi

\alpha = k

ile ölcek parametresinin tersi olan oran parametresi

\beta = 1/\theta

kullanılarak şöyle elde edilir:

g(x;\alpha,\beta) = x^ \frac \, e^ } \ \mathrm\ x > 0 \,\!.

Eger

\alpha

bir pozitif tamsayı ise, o halde

=(\alpha - 1)!

Olasılık yoğunluk fonksiyonu her iki şekli de istatistikçiler tarafından yaygın olarak kullanılmaktadır.

Yığmalı dağılım fonksiyonu

Yığmalı dağılım fonksiyonu bir tanzim edilmiş gamma fonksiyonudur ve bir tamamlanmamış gamma fonksiyonu şeklinde şöyle ifade edilir:

F(x;k,\theta) = \int_0^x f(u;k,\theta)\,du

=\frac \,\!

Özellikler

Toplama

Eğer ``i`` = 1, 2, ..., ``N`` için rassal değişken ``X``_iin dağılımı bir Γ(α_i, β) olursa; o halde

\sum_^N X_i \sim \Gamma \left(\sum_^N \alpha_i, \beta \right) \,\!

Ancak bütün Γ(α_i, β) istatistiksel bağımsız olması gerekir.

Gamma dağılımı sonsuz bölünebilirlik özelliği gösterir.

Ölçekleme

Herhangi bir ``t`` icçin ``tX`` bir Γ(``k``, ``t``θ) dağılımı goösterir; bu ifade ``θ``nın bir ölçek parametresi olduğunu gösterir.

Üstel ailesi

Gamma dağılımı iki-parametreli üstel ailesinin bir üyesidir ve doğal parametreler değerleri

k-1

-1/\theta

; ve doğal istatistikleri

X

\ln(X)

olur.

Enformasyon entropisi

Enformasyon entropisi şöyle verilir:

\frac \int_0^ \frac{x^{k-1{e^{x/\theta \left (k-1)\ln x - x/\theta - k \ln\theta - \ln\Gamma(k) \right \,dx \!

= -\left (k-1) (\ln\theta + \psi(k)) - k - k \ln\theta - \ln\Gamma(k) \right \!

= k + \ln\theta + \ln\Gamma(k) + (1-k)\psi(k) \!

burada ψ(``k``) bir digamma fonksiyonu olur.

Kullback-Leibler ayrılımı

`Gerçek` dağılım olan Γ(α₀, β₀) ile yaklaşık fonksiyon olan Γ(α, β) arasındaki yönlendirilmiş Kullback-Leibler ayrılması şu fonksiyonla verilir:

D_)\beta_0^)\psi(\alpha)+\alpha\frac

Laplace dönüşümü

Gamma dağılımının Laplace dönüşümü şudur:

F(s)=\frac.

Parametre tahmini

Maksimum olabilirlilik tahmini

The likelihood function for ``N`` iid observations

(x_1,\ldots,x_N)

L(\theta)=\prod_^N f(x_i;k,\theta)\,\!

from which we calculate the log-likelihood function

\ell(\theta) = (k-1) \sum_^N \ln - \sum x_i/\theta - Nk\ln - N\ln.

Finding the maximum with respect to

\theta

by taking the derivative and setting it equal to zero yields the maximum likelihood estimate of the θ parameter:

\hat = \frac\sum_^N x_i. \,\!

Substituting this into the log-likelihood function gives

\ell=(k-1)\sum_^N\ln-Nk-Nk\ln\right)}-N\ln. \,\!

Finding the maximum with respect to ``k`` by taking the derivative and setting it equal to zero yields

\ln-\psi(k)=\ln\sum_^N x_i\right)}-\frac\sum_^N\ln \,\!

where

\psi(k) = \frac \!

is the digamma function.

There is no closed-form solution for ``k``. The function is numerically very well behaved, so if a numerical solution is desired, it can be found using, for example, Newton`s method. An initial value of ``k`` can be found either using the method of moments, or using the approximation

\ln(k)-\psi(k) \approx \frac\left(\frac + \frac\right). \,\!

If we let

s = \ln\sum_^N x_i\right)} - \frac\sum_^N\ln,\,\!

then ``k`` is approximately

k \approx \frac

which is within 1.5% of the correct value.Fact|date=February 2007 An explicit form for the Newton-Raphson update of this initial guess is given by Choi and Wette (1969) as the following expression:

k \leftarrow k - \frac

where

\psi`\left(\cdot\right)

denotes the trigamma function (the derivative of the digamma function).

The digamma and trigamma functions can be difficult to calculate with high precision. However, approximations known to be good to several significant figures can be computed using the following approximation formulae:

\psi\left(k\right) = \begin \ln(k) - (1 + (1 - (1/10 - 1 / (21 k^2)) / k^2) / (6 k)) / (2 k), \quad k \geq 8 \\psi\left(k + 1 \right) - 1/k, \quad k < 8 \end

and

\psi`\left(k\right) = \begin (1 + (1 + (1 - (1/5 - 1 / (7 k^2)) / k^2) / (3 k)) / (2 k)) / k, \quad k \geq 8, \\psi`\left(k + 1 \right) + 1/k^2, \quad k < 8. \end

For details, see Choi and Wette (1969).

Bayes tipi minimum ortalama-kareli hata

Bilinen degerde ``k`` ve bilinmeyen degerde `

\theta

, icin theta icin sonrasal olasilik yogunluk fonksiyonu (

\theta

icin standard olcek-degeistilmez oncel kullanarak) su elde edilir:

P(\theta | k, x_1, ..., x_N) \propto 1/\theta \prod_^N f(x_i;k,\theta).\,\!

Su ifade verilsin

y \equiv \sum_^N x_i , \qquad P(\theta | k, x_1, \dots , x_N) = C(x_i) \theta^ e^. \!

Bunun θ entegrasyonu degiskenlerin degistirilmesi yontemi kullanilarak mumkun olur. Bunun sonucunda 1/θ ifadesinin

\scriptstyle \alpha = N k,\ \ \beta = y

parametreleri olan bir gamma dagilimi gosterdigi ortaya cikartilir.

\int_0^ \theta^ e^\, d\theta = \int_0^ x^ e^ \, dx = y^ \Gamma(N k -m). \!

The moments can be computed by taking the ratio (``m`` by ``m`` = 0)

E(x^m) = \frac y^m, \!

which shows that the mean +/- standard deviation estimate of the posterior distribution for theta is

\frac

+/-

\frac  .

Gamma dagilim gosteren rassal degisken uretimi

Given the scaling property above, it is enough to generate gamma variables with ``β`` = 1 as we can later convert to any value of ``β`` with simple division.

Using the fact that a Γ(1, 1) distribution is the same as an Exp(1) distribution, and noting the method of generating exponential variables, we conclude that if ``U`` is uniformly distributed on (0, 1], then −ln(``U``) is distributed Γ(1, 1). Now, using the "α-addition" property of gamma distribution, we expand this result:

\sum_^n  \sim \Gamma(n, 1),

where ``U_k`` are all uniformly distributed on (0, 1] and independent.

All that is left now is to generate a variable distributed as Γ(δ, 1) for 0 < δ < 1 and apply the "α-addition" property once more. This is the most difficult part.

We provide an algorithm without proof. It is an instance of the acceptance-rejection method:

Let ``m`` be 1.
Generate $V_$ , $V_$ and $V_$ — independent uniformly distributed on (0, 1] variables.
If $V_ \le v_0$ , where $v_0 = \frac e$ , then go to step 4, else go to step 5.
Let $\xi_m = V_^, \ \eta_m = V_ \xi _m^$ . Go to step 6.
Let $\xi_m = 1 - \ln e^$ .
If $\eta_m > \xi_m^ e^$ , then increment ``m`` and go to step 2.
Assume $\xi = \xi_m$ to be the realization of $\Gamma (\delta, 1)$

Now, to summarize,

\theta \left(\xi - \sum _ ^  \right) \sim \Gamma (k, \theta),

where [1] is the integral part of ``k``, and ``ξ`` has been generated using the algorithm above with δ = (the fractional part of ``k``), ``U_k`` and ``V_l`` are distributed as explained above and are all independent.

The GNU Scientific Library has robust routines for sampling many distributions including the Gamma distribution.

İlişkili dağılımlar

Specializations

If $X \sim (k=1, \theta=1/\lambda)\,$ , then ``X`` has an exponential distribution with rate parameter λ.
If $X \sim (k=v/2, \theta=2)\,$ , then ``X`` is identical to χ²(``ν``), the chi-square distribution with ``ν`` degrees of freedom.
If $k$ is an integer, the gamma distribution is an Erlang distribution and is the probability distribution of the waiting time until the $k$ -th "arrival" in a one-dimensional Poisson process with intensity 1/θ.
If $X^2 \sim (3/2, 2a^2)\,$ , then ``X`` has a Maxwell-Boltzmann distribution with parameter ``a``.

X \sim \mathrm(\theta)\,

, then

\mathrm(1 + e^) \sim \Gamma (1,\theta)\,

Diğerleri

Eger ``X`` bir Γ(``k``, θ) dagilimi gosterirse 1/``X`` ``k`` ve θ^-1

parametreleri olan bir ters-gamma dagilimi gosterir.

If ``X`` and ``Y`` are independently distributed Γ(α, θ) and Γ(β, θ) respectively, then ``X`` / (``X`` + ``Y``) has a beta distribution with parameters α and β.

If ``X_i`` are independently distributed Γ(α_``i``,θ) respectively, then the vector (``X``₁ / ``S``, ..., ``X_n`` / ``S``), where ``S`` = ``X``₁ + ... + ``X_n``, follows a Dirichlet distribution with parameters α₁, ..., α_``n``.

Referanslar

R. V. Hogg and A. T. Craig. ``Introduction to Mathematical Statistics``, 4th edition. New York: Macmillan, 1978. ``(Bak Section 3.3.)``

MathWorld|urlname=GammaDistribution|title=Gamma distribution

Engineering Statistics Handbook

S. C. Choi and R. Wette. (1969) ``Maximum Likelihood Estimation of the Parameters of the Gamma Distribution and Their Bias``, Technometrics, 11(4) 683-69

İçsel kaynaklar

Gamma distribution wikikitaplar

Kaynak

Kaynak wiki|url=http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Gamma_distribution|tarih= |dil=İngilizce|madde=Gamma_distribution

Olasılık Dağılımları

Kaynaklar

Vikipedi

Gamma Dağılımı

Karekteristikler

Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Yığmalı dağılım fonksiyonu

Özellikler

Toplama

Ölçekleme

Üstel ailesi

Enformasyon entropisi

Kullback-Leibler ayrılımı

Laplace dönüşümü

Parametre tahmini

Maksimum olabilirlilik tahmini

Bayes tipi minimum ortalama-kareli hata

Gamma dagilim gosteren rassal degisken uretimi

İlişkili dağılımlar

Specializations

Diğerleri

Referanslar

İçsel kaynaklar

Kaynak

Kaynaklar

İlgili konular

Olasılık dağılımı

Ki-kare dağılımı

Weibull dağılımı

Cauchy dağılımı

Student'in t dağılımı

Beta dağılımı

Üstel dağılım

Negatif binom dağılımı

Gamma Dağılımı

Gamma Dağılımı Hakkında Detaylı Bilgi

Karekteristikler

Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Yığmalı dağılım fonksiyonu

Özellikler

Toplama

Ölçekleme

Üstel ailesi

Enformasyon entropisi

Kullback-Leibler ayrılımı

Laplace dönüşümü

Parametre tahmini

Maksimum olabilirlilik tahmini

Bayes tipi minimum ortalama-kareli hata

Gamma dagilim gosteren rassal degisken uretimi

İlişkili dağılımlar

Specializations

Diğerleri

Referanslar

İçsel kaynaklar

Kaynak

Kaynaklar

İlgili konular

Görüşler ve Yorumlar

Okuma Önerileri

Olasılık dağılımı

Ki-kare dağılımı

Weibull dağılımı

Cauchy dağılımı

Student'in t dağılımı

Beta dağılımı

Üstel dağılım

Negatif binom dağılımı