Student'in T Dağılımı

isim    =Student`in ``t``|

tip    =yoğunluk|

pdf_image =|

cdf_image =|

parametreler =$\backslash nu\; >\; 0$ serbestlik dereceleri (reel)|

destek  =$x\; \backslash in\; (-\backslash infty;\; +\backslash infty)\backslash !$|

OYF    =$\backslash frac)\}\; \backslash ,\backslash Gamma(\backslash frac)\}\; \backslash left(1+\backslash frac\; \backslash right)^)\}\backslash !$|

YDF    =$\backslash begin$

  \frac + x \Gamma \left(\frac \right) \cdot\\[2]

  \frac,\frac;\frac;

     -\frac \right)}

  \,\Gamma (\frac)}

  \end

  >burada $\backslash ,\_2F\_1$birhipergeometrik fonksiyon olur|
ortalama    =$0\backslash text\backslash nu>1$, diğer hallerde tanımlanmamış|
medyan   =$0$|
mod    =$0$|
varyans  =$\backslash frac\backslash text\backslash nu>2\backslash !$, diğer hallerde tanımlanmamış|
çarpıklık  =$0\backslash text\backslash nu>3$|
basıklık  =$\backslash frac\backslash text\backslash nu>4\backslash !$ |
entropi  =$\backslash begin$
    \frac\left[ 
      \psi(\frac) 
       - \psi(\frac)
    \right] \\[3]
+ \logB(\frac,\frac)\right]}
\end
 $\backslash psi$: digamma fonksiyonu, 
 $B$: beta fonksiyonu| 
|
mf    =()|
kf    =|



Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında t-dağılımı ya da Student`in t dağılımı genel olarak örneklem sayısı veya sayıları küçük ise ve anakütle normal dağılım gösterdiği varsayılırsa sonuc verici istatistik uygulaması için çok kullanılan bir sürekli olasılık dağılımıdır. Çok popüler olarak tek bir anakütle ortalaması için kestirim aralıkları ve hipotez sınamaları ve iki anakütle ortalamasının arasındaki fark için kestirim aralıkları ve hipotez sınamalarında, yani sonuç verici istatistik analizlerde, uygulama görmektedir. 



t-dağılımının ortaya çıkarılmasi ilk defa 1908de Dublinde Guinness Bira Fabrikasında çalışan William Sealy Gosset tarafından yayımlanan bir makale ile olmuştur. Çalıştığı firma yazıya adının koyulmasını kabul etmeyince, bu yayının yazarı Student (öğrenci) olarak verilmişti. Sonradan ``t``-sınamaları ve ilişkili teori R.A. Fisher tarafından geliştirilmiş ve bu dağılıma ``Student`in t dağılım`` adı popularize edilmiştir.



Sonuç verici istatiksel çalışmalarda normal dağılımın yerine küçük orneklem bulunan problemler için kullanılmakla (ve bu nedenle normal dağılımın bir özel hali olarak yanlış intiba vermekle) beraber ``Student`in t-dağılımı`` teorik bakımdan genelleştirilmiş hiperbolik dağılımının bir özel halidir. 



 Dağılım ile ilgili teoremler 
Farzedelim ki ``X``1, ..., ``X````n`` istatistiksel olarak birbirlerinden bağımsız rassal değişkenlerdir ve beklenen değer μ ile dağılma σ değerleri ile normal dağılmaktadırlar.
$\backslash overline\_n=(X\_1+\backslash cdots+X\_n)/n$



örneklem ortalaması ve



$S\_n^2=\backslash frac\backslash sum\_^n\backslash left(X\_i-\backslash overline\_n\backslash right)^2$



örneklem varyansı olsun. Aşağıdaki ifadenin 0 ortalama ve 1 varyans ile normal dağıldığı bilinmektedir.



$Z=\backslash frac\_n-\backslash mu\}\{\backslash sigma/\backslash sqrt\{n$



Gosset buna ilişkili olan eksensel miktarı, yani



$T=\backslash frac\_n-\backslash mu\}\{S\_n\; /\; \backslash sqrt\{n,$



ifadesini incelemiştir. Bu ``Z`` den, kesin standart sapma ifadesi olan $\backslash scriptstyle\; \backslash sigma$ yerine bir rassal değişken olan $\backslash scriptstyle\; S\_n$ konulması suretiyle değişiklik gösterir. Teknik olarak :$\backslash scriptstyle(n-1)S\_n^2/\backslash sigma^2$ 
Cochran`ın teoremine göre bir ki-kare dağılımı gösterir. Gosset yazısında ``T``nin şu olasılık yoğunluk fonksiyonu gösterdiğini isbat atmiştir: 



$f(t)\; =\; \backslash frac)\}\; \backslash ,\backslash Gamma(\backslash frac)\}\; \backslash left(1+\backslash frac\; \backslash right)^)\}\backslash !,$



Burada ν ``n`` − 1 ifadesine eşittir ve Γ bir Gamma fonksiyonudur.



Bu ifade şöyle de yazılabilir:



$f(t)\; =\; \backslash frac\backslash ,\; B\; \backslash left\; (\backslash frac,\; \backslash frac\backslash right)\}\; \backslash left(1+\backslash frac\; \backslash right)^)\}\backslash !,$



Burada ``B`` bir Beta fonksiyonudur. 



Sonradan ``T`` dağılımı t-``dağılımı olarak anılmaya başlanmıştır. ν parametresi 
serbestlik derecesi olarak anılmaktadır. Dikkat edilirse t-dağılımı sadece ν parametresine dayanır ve (sonuç verici analiz için bilinmeyen anakütle değerleri olan) μ veya σ t-dağılımı için parametre değildirler. İşte bu gerçek (yani μ ve σ nin parametre olmaması) hem teorik bakımdan ve daha belirgin olarak pratik sonuç çıkartıcı istatistik analizi bakımından t-dağılımı istatistik bilimi için çok önemlidir. 



t-dağılımının momentleri şunlardır:



$E(T^k)=\backslash begin$
0 & \mbox,\quad 0



Bir diğer işlemle de 0 < ``k`` < &nu; terimi, ``k`` çift sayı ise, Gamma fonksiyonunun özellikleri kullanılarak daha basitleştirilebilinir:



$E(T^k)=$
\prod_^ \frac\nu^ \qquad k\mbox,\quad 0



 Daha ileri teori 
Gosset`in sonuçlarının daha da genelleştirilmesi mümkündür. R.V.Hogg ve A.T.Craig [4], Introduction to Mathematical Statistics, New York:Macmillan Kisimlar: 4.4 ve 4.8. 



Z, standart normal dağılıma ve V ise, $\backslash nu$ serbestlik derecesi ile ki-kare dağılımına sahip olsun, Z ve V bağımsız ise, Cochran`in teoremine göre, şu orantı



$\backslash frac\{\backslash sqrt\{V/\backslash nu\backslash$



&nu; serbestlik derecesi olan bir ``t``-dağılımı olur.



Serbestlik derecesi &nu; olan bir ``t``-dağılımı için beklenen değer 0 dır ve varyans 
 ``&nu;``/(``&nu;`` &minus; 2) eğer ``&nu;`` > 2. 
Çarpıklık 0 olur ve basıklık eğer ``&nu;`` > 4 ise.
 6/(``&nu;`` &minus; 4)
olur. Yığmalı dağılım fonksiyonu bir tamamlanmamış beta fonkiyonu olup



$\backslash int\_^t\; f(u)\backslash ,du\; =\; I\_x\backslash left(\backslash frac,\backslash frac\backslash right)$



ifadesi ile verilir ve burada



$x\; =\; \backslash frac\{t+\backslash sqrt\{t^2+\backslash nu\{2\backslash sqrt\{t^2+\backslash nu.$



olur.



``t``-dağılımı ile F-dağılımı ilişkisi şöyle açıklanabilir; ``&nu;`` serbestlik derecesi olan ``t`` için kare değeri serbestlik derecesi 1 ve ``&nu`` olan bir F-dağılımıdır.



``t`` dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonunu grafik şekli, ortalaması 0 ve varyansı 1 olan standart normal dağılımı grafik şekline benzerlik gösterir. Ancak t-dağılımı daha yaygındır ve biraz daha basıktır. Serbestlik derecesi büyüdükce, t-dağılımı standart normal dağılımına yaklaşım göstermektedir. Serbestlik derecesi 30 olduğu zaman t-dağılımı ve standart normal dağılım nerede ise aynı şekildedirler.



Aşağıdaki gösterimler ``&nu;`` serbestlik derecesi artış gösterirse ``t``-dağılımı yoğunluk fonksiyonunun nasıl değiştiğini gösterirler. Karşılaştırma sağlamak için normal dağılım mavi çizgi ile gösterilmiştir. ``t``-dağılımını gösteren kırmızı çizginin ``&nu;`` değeri artıkça normal dağılıma yakınlaşma gösterdigi açıkca gözlenebilmektedir. Eğer ``&nu;``=30 ``t``-dağılımı hemen hemen normal dağılım ile aynı olmaktadır.




+ Serbestlik dereceleri 1, 2, 3, 5, 10 ve 30 için ``t``-dağılımı yoğunluk fonksiyonu (kırmızı ve yeşil). Normal dağılımla (mavi) karşılaştırın.

 
 
 

 
 
 




 Özel haller 
Serbestlik derecesini ``&nu;`` için belli değerler özellikle basit olan bazı şekilleri verirler:



 &nu; = 1 



Dağılım fonksiyonu şu olur:



$F(x)\; =\; \backslash frac\; +\; \backslash frac\backslash arctan(x).$



Yoğunluk fonksiyonu şudur:



$$
f(x) = \frac\pi}(1+x^2)}.



Bakın Cauchy dağılımı



 &nu; = 2 



Dağılım fonksiyonu şu olur:



$F(x)\; =\; \backslash frac\backslash left[5].$



Yoğunluk fonksiyonu şudur:



$f(x)\; =\; \backslash frac\{\backslash left(2+x^2\backslash right)^\{3/2.$



Student`in ``t``-dağılımı kullanarak kestirim aralığı bulunması
Bir sayı olan ``A`` öyle şekilde seçilsin ki 







olsun. Burada ``T`` ``n``&nbsp;&minus;&nbsp;1 serbestlik derecesi bulunan bir ``t``-dağılımı göstersin. Bu ifade 







ifadesi ile aynı olup ``A`` bu olasılık dağılımının ``95inci yüzdebirlik`` değeridir veya 
$A=t\_$. 
Bu halde







olmaktadır ve bu da



$\backslash Pr\backslash left(\backslash overline\_n\; -\; A\_n\; +\; A\{S\_n\; \backslash over\; \backslash sqrt\{n\backslash right)\; =\; 0.9.$



ifadesine aynen eşittir. Bunun için uç-noktaları



$\backslash overline\_n\backslash pm\; A\backslash frac\{\backslash sqrt\{n$



olan açıklık &mu; için bir %90 güven aralığıdır. 



Böylece eğer normal dağılım gösterdiğine epeyce emin olabilaceğimiz bir grup gözlem için ortalama değeri bulursak, ``t``-dağılımını kullanarak bulunan ortalama için güvenlik limitlerinin (belki bir sıfır hipotez için tahmin edilmiş değerin) yahut daha önce teorik olarak tahmin edilmiş bir değerin, bu limitlerin arasında bulunup bulunmadığı araştırılabilir. 



Bu sonuc Student`in t-testlerinde kullanılmaktadır. İki normal dağılımdan alınan örneklemlerin ortalamalarının farkı da normal dağılım gösterdiği için, anakütle ortalamalarının arasındaki farkın sıfıra eşit olduğuna dair bir sonuç çıkarmanın makul olup olmadığını incelemede kullanılabilir. 



Eğer veriler normal olarak dağılım gösterirlerse, ortalama için tek taraflı bir (1-a)-üst güvenlik limiti (UGL), şu verilen denklemi kullanarak hesaplanabilir.



$\backslash mathrm\_\; =\; \backslash overline\_n+\backslash frac\; S\_n\}\{\backslash sqrt\{n.$



Ortaya çıkarılan UGL değeri, bir verilmiş güvenlik aralığı ve anakütle büyüklüğü için ortaya çıkacak en büyük ortalama değeri olacaktır. Diğer bir terimle, $\backslash overline\_n$ değeri bir grup gözlemler için bir ortalama olursa, bu dağılımın ortalamasının $\backslash mathrm\_$ değerinden daha düşük olmasının olasılığı güvenlik oranına (yani $1-a$ ye) eşittir. 



Uygun büyüklükteki örneklemler için t-dağılımlarının ilgili sıfır hipotezi için uygulanabileceği birkaç diğer istatistikler bulunmaktadır. Böylece ``t``-dagılımı, yalnizca tek ortalama ve iki ortalama arasındaki fark problemleri için uygulanan sonuç verici istatistik için bir özel teknik olmadığı açıktır. Örneğin Spearman`ın sıralama korelasyon katsayısı için sıfır hipotez bu katsayının 0 olabileceği ise, bu sıfır korelasyon için, eğer örneklem büyüklüğü 20 civarında ise, yaklaşık olarak bir t-dağılımı kullanılabilir.



 Güçlü parametrik modelleme 
``t``-dağılımı çok kere veri modeli kurmak için normal dağılıma bir alternatif olarak kullanılır. Çok kere pratik hayattan gelen gerçek veriler normal dağılımın kabul ettiğinden daha fazla ağırlıklı dağılım (``şişman-kuyruklu dağılım``) gösterir. Bu halde klasik çözum yolu bu alışılanın çok dışında olan değerleri (``dışlak değerleri``) teşhis edip bunların ağırlıklarını özel işlemlerle azaltmaya çaba göstermekle yapılmaktaydı. Ancak ``dışlak`` değerlerin teşhis edilmesi (özellikle yüksek boyut gösteren veriler arasında) hiç kolay olmamaktadır. Bu nedenle bu türlü verileri modellemek için doğasal seçim konusu olan ve güçlü istatistikler için bir parametrik yaklaşım sağlayan t-dağılımının alternatif olarak kullanılması tavsiye edilmektedir. 



Lange ve işbirlikcileri (1989) Lange,K.L., J.M.G. Taylor, R.J.A. Little (1989) "Robust Statistical Modeling Using the t Distribution", Journal of the American Statistical Association Cilt.84 say.881-896 çesitli kullanım alanlarında ağır kuyruklu veriler için güçlü modelleme içinde t-dağılımının kullanılması sorunu ayrıntılı olarak incelemişlerdir. Gelman ve işbirlikçilerinin (2003) Gelman,A., J.B.Carlin, H.S.Stern, D.B.Rubin (2003), Bayesian Data Analysis (2nd Ed.) CRC/Chapman ve Hall  yazısında bir Bayes tipi yaklaşım gösterilmektedir. Serbestlik derecesi parametresi dağılımının basıklığını kontrol etmek için kullanılmakta ve bu ölçek parametresi ile korelasyon bağlantısı göstermektedir. Olabilirlilik çok sayıda yerel maksimum değerleri gösterdigi için, çok kere serbestlik derecesini ufak olan değerlerde sabitleştirmek ve bu sabit değer verilmiş gibi diğer parametreler için kestirimde bulunmak gerekmektedir. Bazı araştırıcılar bunun için en uygun değerlerin 3 ile 9 arasında olduğunu beyan etmişlerdir. Venebale ve Ripley (2002) Venables,W.N. ve B.D.Ripley (2002) Modern Applied Statistics with S (4. Ed.), Springer  ise 5 değerinin iyi bir seçim olacağını bildirmektedirler.



İlişkili dağılımlar 
 Eğer $\backslash sigma^2\; \backslash sim\; \backslash mbox\backslash chi^2(\backslash nu,1)\backslash !$ bir ölçeği değişmiş ters-``&chi;``2 dağılımı ve $X\; \backslash sim\; \backslash mathrm(0,\backslash sigma^2)\backslash !$ ise bir normal dağılım gösteriyorlarsa, o halde $X\; \backslash sim\; \backslash mathrm(\backslash nu)$ bir ``t``-dağılımı gösterir.
 Eğer $Y\; =\; X^2\backslash !$ ve $X\; \backslash sim\; \backslash mathrm(\backslash nu)\backslash !$ Student`in ``t``-dağılımı gösteriyorlarsa $Y\; \backslash sim\; \backslash mathrm(\backslash nu\_1\; =\; 1,\; \backslash nu\_2\; =\; \backslash nu)$ ifadesi bir ``F``-dağılımı gösterir.
$X\; \backslash sim\; \backslash mathrm(\backslash nu)$ iken $Y\; =\; \backslash lim\_\; X$ ise $Y\; \backslash sim\; \backslash mathrm(0,1)\backslash !$ bir normal dağılımı gösterir. 
 Eğer $X\; \backslash sim\; \backslash mathrm(\backslash nu\; =\; 1)$ ise $X\; \backslash sim\; \backslash mathrm(0,1)$ bir Cauchy dağılımı gösterir.



İçsel kaynaklar
 Student`in t-testi
 Gamma fonksiyonu
 Hotelling`in T-kare dağılımı
 Merkezsel olmayan t-dağılımı
 Çokdeğişirli Student dağılımı
 Güven aralıkları



Kaynak
Kaynak wiki
|url=http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Student`s_t-distribution|tarih=Mart 2008
|dil=İngilizce|madde=Student`s_t-distribution



Referenslar
cite journal
|author=Student  href="/william_sealy_gosset" >William Sealy Gosset|
|year=1908
|month=March
|title=The probable error of a mean
|journal=Biometrika
|volume=6
|issue=1
|pages=1-25
|url=http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/student.pdf



cite journal
|last=Fisher
|first=R. A.
|authorlink=Ronald Fisher
|year=1925
|title=Applications of "Student`s" distribution
|journal=Metron
|volume=5
|pages=90-104
|url=http://digital.library.adelaide.edu.au/coll/special/fisher/43.pdf



cite journal
|last=Lange
|first=K.L.
|authorlink=J.M.G. Taylor, R.J.A. Little 
|year=1989
|title=Robust Statistical Modeling Using the t Distribution
|journal=Journal of the American Statistical Association
|volume=84
|pages=881-896
|url=



Kitap belirt
 | son = Hogg
| ilk = R.V.
| yazarurl = 
| yardımcıyazarlar= A.T. Craig
| yıl = 1978
| başlık = Introduction to Mathematical Statistics
| yayımcı= Macmillan
| yer= New York
| id = 



Kitap belirt
 | son = Press
| ilk = William H.
| yazarurl =http://www.nr.com/
| yardımcıyazarlar= Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery
| yıl = 1992
| başlık = Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing
| yayımcı = Cambridge University Press
| id = 0-521-43108-5



Kitap belirt
 | son = Venables
| ilk = W.N.
| yazarurl = 
| yardımcıyazarlar= B.D. Ripley
| yıl = 2002
| başlık = Modern Applied Statistics with S (Fourth Edition)
| yayımcı= Springer
| yer= 
| id = 



Kitap belirt
 | son = Gelman
| ilk = Andrew
| yazarurl = http://www.stat.columbia.edu/~gelman/book/
| yardımcıyazarlar= John B. Carlin, Hal S. Stern, Donald B. Rubin
| yıl = 2003
| başlık = Bayesian Data Analysis (Second Edition)
| yayımcı= CRC/Chapman & Hall
| yer= 
| id = 1-584-88388-X



Dışsal bağlantılar
 VassarStats Kullanıcı tarafından belirtilen serbestlik derecesi için yoğunluk grafiği, kritik değerler vb.
  Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics ("Student`in dağılımı" teriminin tarihi üzerine bazı görüşler)``
 Student`in t-dağılımı için yığmalı yoğunluk fonksiyonu hesaplayıcısı 
 Student`in t-dağılımı için olasılık yoğunluk fonksiyonu hesaplayıcısı 



Olasılık Dağılımları|Student`in t dağılımı
Kaynaklar
Vikipedi