Türkçe Bilgi: Beta fonksiyonu

beta fonksiyonu, Euler integrali'nin ilk türüdür, ayrıca aşırı mal ötesi ve krankenhausa benzeyen bir fonksiyondur,ve bu cümleyi kendisi kıskançlık,ve zeka geriliği nedeniyle ekledi.

\textrm(x), \textrm(y) > 0.\,

için bu özel fonksiyon'unun tanımı :

\mathrm(x,y) = \int_0^1t^(1-t)^\,dt \!

Beta fonksiyonu Jacques Binet tarafından öğrencileri Euler ve Legendre'ye adandı. Özellikler Beta fonksiyonu simetrik'tir, yani :

\Beta(x,y) = \Beta(y,x). \!

yerine konulan Birçok diğer formlarıda vardır: :

\Beta(x,y)=\dfrac \!

\Beta(x,y) =  2\int_0^(\sin\theta)^(\cos\theta)^\,d\theta,  \qquad \textrm(x)>0,\ \textrm(y)>0 \!

\Beta(x,y) =  \int_0^\infty\dfrac}}\,dt,  \qquad \textrm(x)>0,\ \textrm(y)>0 \!

\Beta(x,y) =  \sum_^\infty \dfrac , \!

\Beta(x,y) = \frac \prod_^\infty \left( 1+ \dfrac\right)^, \!

\Beta(x,y) \cdot \Beta(x+y,1-y) =  \dfrac, \!

Burada

\Gamma\,

gama fonksiyonu'dur. özellikle eşitlikteki ikinci gösterimden elde edilen buradaki eşitliklerden bazıları, mesela trigonometrik formül, :

\Gamma(1/2) = \sqrt \pi

. Kartezyen Koordinatlar'daki n-küre hacminin türevleri'ne uygulanabilir . Sadece tamsayılar için yazılan gama fonksiyonu faktöriyel'dir, beta fonksiyonu binomial katsayılar endeksi tarafından tanımlanabilir: :

= \frac1.

Ayrıca her

n

tamsayısı için,

\Beta\,

'nın

k

sürekli değerleri için öteleme fonksiyonu kapalı formunun integrallenmiş şekli :

= (-1)^n n! \cfrac^n (k-i)}.

İlk kez Gabriele Veneziano, sicim teorisi'deki,genlik saçılması varsayımında beta fonksiyonunu kullandı. Beta ve Gama fonksiyonları arasındaki ilişki Beta fonksiyonunun türetilen iki faktöriyel yazılarak integral gösterimi; :

\Gamma(x)\Gamma(y) =  \int_0^\infty\ e^ u^\,du \int_0^\infty\ e^ v^\,dv. \!

Şimdi,

u \equiv a^2

v \equiv b^2

,yazalım,böylece :

\begin  \Gamma(x)\Gamma(y) &  =  4\int_0^\infty\ e^ a^\mathrma \int_0^\infty\ e^ b^\,db \\ &  = \int_^\infty\ \int_^\infty\ e^ |a|^ |b|^ \,da \,db. \end \!

Kutupsal koordinatlara dönüşümü

a = r\cos\theta

b = r\sin\theta

: :

\begin  \Gamma(x)\Gamma(y) &  =  \int_0^\ \int_0^\infty\ e^ |r\cos\theta|^ |r\sin\theta|^ r \, dr \,d\theta \\ &  = \int_0^\infty\ e^ r^ r\, dr \int_0^\ |(\cos\theta)^ (\sin\theta)^| \, d\theta \\ &  = \frac\int_0^\infty\ e^ r^ \, d(r^2) 4\int_0^\ (\cos\theta)^ (\sin\theta)^ \,d\theta \\ &  = \Gamma(x+y) 2\int_0^\ (\cos\theta)^ (\sin\theta)^ \, d\theta \\ &  = \Gamma(x+y) \Beta(x,y). \end

Dolayısıyla,beta fonksiyonunun kullanılan formu ve değişkenleri yeniden: :

\Beta(x,y) = \frac.

Diğer bir türetim,bir özel durumu için konvolüsyon integrali alınırsa :

f(u):=e^ u^ 1_

and

g(u):=e^ u^ 1_

, sonuç kolayca: :

\Gamma(x)\Gamma(y)=\left(\int_f(u)du\right)\left(\int_g(u)du\right)=\int_(f*g)(u)du=\Beta(x, y)\,\Gamma(x+y)

. Türevleri türevleri sırasıyla: :

\mathrm(x, y) = \mathrm(x, y) \left(  -  \right) = \mathrm(x, y) (\psi(x) - \psi(x + y))

burada

\ \psi(x)

digama fonksiyonu'dur. Integralleri Nörlund-Rice integral beta fonksiyonunun kontür integral içeren şeklidir . Yaklaşıklıklar Asimptotik formül,Stirling yaklaşıklığı'nı verir. x büyük y büyük ise, :

\Beta(x,y) \sim \sqrt  \frac y^} }} }}

diğer bir durumx büyük ve y sabit ise, :

\Beta(x,y) \sim \Gamma(y)\,x^.

Tamamlanmamış beta fonksiyonu Beta fonksiyonunun bir genellemesi Tamamlanmamış beta fonksiyonu
'dur. Tanımı :

\Beta(x;\,a,b) = \int_0^x t^\,(1-t)^\,dt. \!

x = 1, için tamamlanmamış beta fonksiyonu ile tamamlanmış beta fonksiyonu çakışır.Bu ilişki gama fonksiyonu ve genel şekli tamamlanmamış gama fonksiyonu arasındada vardır.. düzenlenmiş,tamamlanmamış beta fonksiyonu (veya kısaca düzenlenmiş beta fonksiyonu ) şeklinde tanımlanan bu iki fonksiyonun terimleri: :

I_x(a,b) = \dfrac. \!

a ve b tamsayı değerleri için bilinen integral dışında ( parçalanmış integrasyon kullanılabilir): :

I_x(a,b) = \sum_^  x^j (1-x)^.

Binom dağılımı'nın , bir rastgele değişkeni X " başarı olasılığı" p örnekleme boyutu n olmak üzere yığılımlı yoğunluk fonksiyonu için değerlendirmede; Düzenlenmiş- tamamlanmamış beta fonksiyonu kullanılabilir ve burada : :

F(k;n,p) = \Pr(X \le k) = I_(n-k, k+1).

Özellikler

I_0(a,b) = 0 \,

I_1(a,b) = 1 \,

I_x(a,b) = 1 - I_(b,a) \,

(Listede diğer birçok özellikler olabilir.) Bakınız * Beta dağılımı * Binom dağılımı * Jacobi toplamı,sonlu alanlar üzerinde beta fonksiyonunun analogları. * Negatif binom dağılımı * Yule–Simon dağılımı * Tekdüze dağılım * Gama fonksiyonu * * M. Zelen and N. C. Severo. in Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See §6.2, 6.6, and 26.5) * W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1992. Second edition. (See section 6.4) * * Arbitrarily accurate values can be obtained from The Wolfram Functions Site, Evaluate Beta Regularized Incomplete beta Dış bağlantılar * Cephes - C and C++ language special functions math library * Beta Function Calculator * Incomplete Beta Function Calculator * Regularized Incomplete Beta Function Calculator

Kaynaklar

Vikipedi

Beta Fonksiyonu

Tamamlanmamış beta fonksiyonu

Özellikler

Kaynaklar

Beta dağılımı

Özel fonksiyonlar

Matematiksel fonksiyonların listesi

Kuvvet fonksiyonu

Euler integrali

Hipergeometrik fonksiyon

Gama fonksiyonu

Mutlak sıcaklık

Beta Fonksiyonu

Beta Fonksiyonu Hakkında Detaylı Bilgi

Tamamlanmamış beta fonksiyonu

Özellikler

Kaynaklar

Görüşler ve Yorumlar

Okuma Önerileri

Beta dağılımı

Özel fonksiyonlar

Matematiksel fonksiyonların listesi

Kuvvet fonksiyonu

Euler integrali

Hipergeometrik fonksiyon

Gama fonksiyonu

Mutlak sıcaklık