Gauss Integrali

Kısaca: Gauss integrali, Euler–Poisson integrali olarak ta bilinir, tüm reel sayılardaki ''e''−''x''2 Gauss fonksiyonunun integralidir. Alman matematik ve fizikçi Carl Friedrich Gauss'dan sonra adlandırlıdı. İntegrali şöyledir: ...devamı ☟

Gauss integrali, Euler–Poisson integrali olarak ta bilinir, tüm reel sayılardaki ex2 Gauss fonksiyonunun integralidir. Alman matematik ve fizikçi Carl Friedrich Gauss'dan sonra adlandırlıdı. İntegrali şöyledir: \int_^\infty e^\,dx = \sqrt. Bu integral çok geniş uygulama alanına sahiptir. Örneğin değişkenlerin azıcık değiştirilerek normal dağılımın normalleştirme sabitini hesaplamak için kullanılır. Sonlu sınırları olan aynı integral, normal dağılımın hem hata fonksiyonu hem de birikimli dağılım fonksiyonu ile yakından ilişkilidir. Hata fonksiyonu için her ne kadar temel fonksiyon olmazsa bile, Risch algoritması kanıtlamıştır ki, Kalkülüs araçları kullanılarak Gauss integrali analitik olarak çözülebilir. Burada, aşağıdaki integralin temel İlkel fonksiyonu yoktur: :\int e^\,dx, fakat aşağıdaki belirli integrali hesaplanabilir: :\int_^\infty e^\,dx Gauss integrali ile, fizikte çok sık karşılaşılır ve integralin sayılal genelleştirilmesi ile kuantum alan kuramında sık karşılaşılır. ==HesaplamaKutupsal koordinat sisteminde Gauss integralini hesaplamanın standart yolu Poisson'a geri gitmektir, is * R2 düzleminde e−(x2+y2)=er2 fonksiyonunu göz önüne alalım ve iki yolla integralini hesaplayalim: *# bir taraftan, bir kare integral olan kartezyen koordinat sistemindeki katlı integrali ile: *#: \left(\int e^\,dx\right)^2; *# diğer taraftan kabuk integrali (kutupsal koordinat sistemindeki çift katlı integral) ile, bu integral π olarak hesaplar. Bu iki hesaplama karşılaştırılırsa uygun integral elde edilmiş olur.

Basit ispat

Kısaca yukarıdaki yöntem kullanılarak, bir taraftan şöyle hesaplanabilir; :\int_^2} e^\,dA = \int_^\infty \int_^\infty e^\,dx\,dy = \left ( \int_^\infty e^\,dx \right )\left ( \int_^\infty e^\,dy \right ) = \left ( \int_^\infty e^\,dx \right )^2 Diğer taraftan da şöyle hesaplanabilir; :\begin \int_^2} e^\,dA &= \int_0^ \int_0^ e^r\,dr\,d\theta\\ &= 2\pi \int_0^\infty re^\,dr\\ &= 2\pi \int_^0 \tfrac e^s\,ds && s = -r^2\\ &= \pi \int_^0 e^s\,ds \\ &= \pi (e^0 - e^) \\ & =\pi, \end Buradaki r faktörü, kutupsal koordinat dönüşümlerinden elde edilir. (r''dr''dθ, kutupsal koordinat sisteminde ifade edilen düzlemin standart ölçüsüdür [1]) ve s=−r2 yerine konulursa ds=−2r''dr olur. Bunları bir araya getirirsek : \left ( \int_^\infty e^\,dx \right )^2=\pi, olur. Böylece, : \int_^\infty e^\,dx=\sqrt elde edilir.

Kapsamlı ispat

Katlı integrallerin uygunluğunu ve iki ifadenin eşitliğini doğrulamak için, aşağıdaki yaklaşım fonksiyonu ile başlayalım: :I(a)=\int_^a e^dx. Eğer integral şöyle olursa: :\int_^\infty e^\,dx mutlak yakınsaklığın Cauchy esas değeri limiti şöyle olur; :\lim_ I(a) Bu limit aşağıdaki integral ile uyuşur; :\int_^\infty e^\,dx. Bunun gerçek durumunu şöyledir; :\int_^\infty |e^|\, dx < \int_^ -x e^\, dx + \int_^1 e^\, dx+ \int_^ x e^\, dx<\infty. Böylece şöyle hesaplayabiliriz :\int_^\infty e^\,dx burada limit alınırsa :\lim_ I(a).
I(a)nın karesi elde edilir :\begin I(a)^2 & = \left ( \int_^a e^\, dx \right ) \left ( \int_^a e^\, dy \right ) \\ & = \int_^a \left ( \int_^a e^\, dy \right )\,e^\, dx \\ & = \int_^a \int_^a e^\,dx\,dy. \end Fubini teoremini kullanarak, yukarıdaki katlı integral, şu şekilde alan integraline çevrilebilir: : \int e^\,d(x,y), xy düzleminde köşelerine sahip bir kare elde edilir. Üstel fonksiyon, tüm reel sayılar için 0'dan büyük olduğundan dolayı, karenin iç teğet çemberinin integrali I(a)^2'den küçük olmalıdır ve benzer şekilde karenin dış teğet çemberinin integrali de I(a)^2'den büyük olmalıdır. Bu iki çemberin integralleri kutupsal koordinat dönüşümünden kolayca hesaplanabilir: : \begin x & = r \cos \theta \\ y & = r \sin\theta \\ d(x,y) & = r\, d(r,\theta). \end :\int_0^\int_0^a re^\,dr\,d\theta < I^2(a) < \int_0^\int_0^} re^\,dr\,d\theta. (Kutupsal dönüşümler için kartezyen koordinatlardan kutupsal koordinatlara dönüşüme bakın.) Integral alma, :\pi (1-e^) < I^2(a) < \pi (1 - e^). Sıkıştırma teoreminden, Gauss integral elde edilebilir: :\int_^\infty e^\, dx = \sqrt.

Kartezyen koordinat sisteminde

Laplace dönüşümüne geri gitmenin farklı bir yöntemi, aşağıdaki gibidir: : \begin y & = xs \\ dy & = x\,ds. \end
y → ±∞ iken s sınırları, x in işaretine bağlıdır ve bir çift fonksiyon olan ex2 kullanılarak hesaplama basitleştirilebilir. Böylece tüm reel sayılardaki integral için, sıfırdan sonsuza iki kez integral alınır. Bu da şöyle olur; :\int_^ e^\,dx = 2\int_^ e^\,dx. Böylece, x ≥ 0 için integral alınır ve y ile s değişkenleri aynı sınırlara sahiptir. Buradan: : I^2 = 4 \int_0^\infty \int_0^\infty e^ dy\,dx . elde edilir. Ardından: : \begin \tfrac I^2 & = \int_0^\infty \left( \int_0^\infty e^ \, dy \right) \, dx \\ &= \int_0^\infty \left( \int_0^\infty e^ x\,ds \right) dx \\ & = \int_0^\infty \left( \int_0^\infty e^ x \, dx \right) \, ds \\ & = \int_0^\infty \left \frac e^ \right_^ \, ds \\ &= \tfrac \int_0^\infty \frac \\ & = \tfrac \left \arctan s \frac \right _0^\infty \\ &= \tfrac. \end Son olarak, I = \sqrt\pi olur. ==Gama fonksiyonu ile ilişkisi== Bir çift fonksiyon integrali şöyle olsun: :\int_^ e^ dx = 2 \int_0^\infty e^ dx Burada x=\sqrt değişken değiştirme yapılırsa bu denklem Euler integraline dönüşür: :2 \int_0^\infty e^ dx=2\int_0^\infty \frac\ e^ \ t^} dt = \Gamma\left(\frac\right) = \sqrt Buradaki Γ, gama fonksiyonudur. Bu, bir yarım tamsayı faktöriyelinin, \sqrt \pinin bir oransal çarpanı olduğunu gösteriyor. Bunun daha genel ifade şöyledir: :\int_0^\infty e^ dx = \frac\ a^} \, \Gamma\left(\frac\right). ==GenelleştirmelerGauss fonksiyonunun integrali Keyfi bir Gauss fonksiyonunun integrali şöyledir: :\int_^ e^}\,dx= c \sqrt. Bunun başka bir biçimi de şöyledir: :\int_^e^\,dx=\sqrt\,e^,

n boyutlu ve fonksiyonel genelleştirme

A, bir simetrik pozitif tanımlı (bu yüzden tersinir) n×n ortak değişirli matrisi olsun. Böylece integral şöyle olur: :\int_^\infty \exp\left(-\frac 1 2 \sum_^A_ x_i x_j \right) \, d^nx =\int_^\infty \exp\left(-\frac 1 2 x^ A x \right) \, d^nx=\sqrt} Burada integral 'R'nde anlaşılır. Bu, çokdeğişirli normal dağılım incelenerek uygulanır. Ayrıca, :\int x^\cdots x^} \, \exp\left( -\frac \sum_^A_ x_i x_j \right) \, d^nx =\sqrt} \, \frac \, \sum_}(A^)^k_} \cdots (A^)^k_} Burada σ, bir permütasyonu ve sağ taraftaki ek faktör, N nin tüm kombinasyonel çiftlerinin toplamıdır ve Ad−1'den elde edilmişlerdir. Alternatif olarak, :\int f(\vec x) \exp\left( - \frac 1 2 \sum_^A_ x_i x_j \right) d^nx=\sqrt \, \left. \exp\left(\sum_^(A^)_\right)f(\vec)\right|_=0}

Yüksek dereceli polinomlar

Diğer çift polinomların üstelleri seriler kullanılarak kolayca çözülebilir. Örneğin bir dördüncü dereceden bir polinomun üstel integralinin çözümü şöyledir: : \int_^ e^\,dx =\frac12 e^f \ \sum_n,m,p=0 \\ n+p=0 \mod 2\end}^ \ \frac \frac \frac \frac \right)}4}}. Burada
n+p = 0 mod 2 gereklidir. Çünkü −∞'dan 0'a integral her bir terimde (−1)n+p/2 faktörü oluştururken, 0'dan +∞'a integral her bir terimde 1/2 faktörü oluşturur. Bu integraller, kuantum alan kuramının konusuna girer.

Kaynaklar

Kaynaklar

Vikipedi

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.

Gauss fonksiyonunun integrali
6 yıl önce

Keyfi bir Gauss fonksiyonunun integrali şöyledir: ∫ − ∞ ∞ a e − ( x + b ) 2 / c 2 d x = a | c | π . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }a\,e^{-(x+b)^{2}/c^{2}}\...

Gauss fonksiyonu
3 yıl önce

{\sqrt {2\pi }}.} Burada, yalnızca a = 1/(c√(2π)) için integral 1'dir. Bu durumda Gauss integrali, μ = b beklenen değeri ve σ2 = c2 varyansına sahip normal...

Gauss yasası
3 yıl önce

Fizikte Gauss'un akı teoremi olarak da bilinen Gauss yasası, elektrik yükünün ortaya çıkan elektrik alanına dağılımına ilişkilendiren matematiksel bir...

Gauss yasası, Carl Friedrich Gauss, Coulomb yasası, Direnç (elektrik), Elektrik, Elektrik akımı, Elektriksel alan, Elektriksel gerilim, Elektriksel iletkenlik, Elektriksel yük, Elektromanyetizm
Carl Friedrich Gauss
3 yıl önce

fonksiyonu, türev ve integralle ilgili temel teoremleri, normal dağılımı, Eliptik integrallerin ilk çözümlerini ve yüzeylerde Gauss eğimini keşfetmiş, kanıtlamış...

Matematik, Fizik, Geometri, Astronomi, Almanya, 1777, 1855, 23 Şubat, 30 Nisan, ABD, Adrien-Marie Legendre, Aksiyom, Alexander von Humboldt, Alman, Almanca
Normalleştirme sabiti
6 yıl önce

Örneğin normal dağılımın normalleştirme sabitini hesaplamak için Gauss integrali kullanılabilir. Olasılık kuramında bir normalleştirme sabiti, hiçbir...

Gauss yüzeyi
3 yıl önce

doğru seçilmiş ise, hesaplama zor bir integral gerektirmeyecektir. Gauss yüzeyinin kullanıldığı birçok hesaplama Gauss yasası kullanılarak başlar (elektrik...

Fresnel integrali
3 yıl önce

Fresnel integrali, S(x) ve C(x), iki transendental fonksiyon'dur. Augustin-Jean Fresnel'e atfedilmiştir ve optikte kullanılmaktadır. Yakın alan Fresnel...

Manyetizma için Gauss yasası
3 yıl önce

geçirilmesi gerekecektir. Manyetizma için Gauss yasası, iki şekilde yazılabilir: differansiyel biçiminde ve integral biçiminde. Bu ikisi birbirine diverjans...