Üstel fonksiyon, matematiğin en önemli fonksiyonlarından biridir. ex`` veya exp(``x``) sembolleriyle gösterilir. Burada ``e``, yaklaşık değeri 2,718 olan Euler sayısını temsil eder, ``x`` ise gerçel ya da karmaşık bir değişkendir. Kuvvet fonksiyonunun tersine, değişken tabanda değil üstte olduğu için bu fonksiyona üstel denir.
Bazı kaynaklarda üstel fonksiyon, herhangi bir pozitif ``a`` tabanı için ``ax`` olarak tanımlanır. Bu maddede ``e`` tabanlı üstel fonksiyon anlatılacaktır. (Farklı tabanlı üstel fonksiyonlar ``ax = ex·ln a`` bağlantısı sayesinde ``e`` tabanlı üstel fonksiyona dönüştürülebilirler, bu yüzden de ``e`` tabanlı fonksiyonu incelemek yeterlidir.)
Tanım
Gerçel değişkenli üstel fonksiyon için birbirine eşdeğer olan birkaç tanım verilebilir. Bunlardan bazıları şöyledir:- Limit tanımı:
- Sonsuz seri tanımı:
- Türevsel denklem tanımı:
ve eşitliklerini sağlayan fonksiyonuna denir.
- İntegral tanımı:
eşitliğini sağlayan pozitif sayısına denir.
Bu tanımların geçerli ve eşdeğer oldukları pek çok matematiksel analiz kaynağında gösterilir. İlk üç tanım, hiçbir değişiklik yapmadan, karmaşık değişkenli üstel fonksiyon için de verilebilir.
