Beta Dağılımı

Kısaca: Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında beta dağılımı [0,1] aralığında iki tane pozitif şekil parametresi (tipik olarak α ve β) ile normalize edilmiş bir sürekli olasılık dağılımları ailesidir. ...devamı ☟

Beta dağılımı
Beta Dağılımı

Olasılık dağılımı|
isim    =Beta| 
tip    =yoğunluk|
pdf_image =|
cdf_image =|
parametreler =\alpha > 0 şekil (reel)
\beta > 0 şekil (reel)|
destek  =x \  1 icinde \!|
OYF    =\frac(1-x)^(\alpha,\beta)}\!|
YDF    =I_x(\alpha,\beta)\!|
ortalama    =\frac\!|
medyan   =|
mod    =\frac\! burada \alpha>1, \beta>1|
varyans =\frac\!|
çarpıklık  =\frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta|
basıklık  =``metine bakın``|
entropi  =``metine bakın``|
mf    =1 +\sum_^ \left(\prod_^ \frac \right) \frac|
kf    =_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\!|


Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında beta dağılımı [1] aralığında iki tane pozitif şekil parametresi (tipik olarak α ve β) ile normalize edilmiş bir sürekli olasılık dağılımları ailesidir.

Tipik karakteristikler

Olasılık yoğunluk fonksiyonu



Beta dağilim için olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle ifade edilir:

f(x;\alpha,\beta) = \frac(1-x)^ (1-u)^\, du} \!


= \frac\, x^(1-x)^\!


= \frac(\alpha,\beta)}\, x
^(1-x)^\!

Burada \Gamma bir gamma fonksiyonudur. Beta fonksiyonu, B, toplam olasılık integralinin daima bire eşit olmasını sağlamak için gerekli normalleştirme sabitidir.

Yığmalı dağılım fonksiyonu



Yığmalı dağılım fonksiyonu şudur:

F(x;\alpha,\beta) = \frac_x(\alpha,\beta)}(\alpha,\beta)} = I_x(\alpha,\beta) \!


Burada \mathrm_x(\alpha,\beta) bir tamamlanmamış beta fonksiyonu and I_x(\alpha,\beta) ise tanzim edilmiş tamamlanmamış beta fonksiyonu olurlar.

Özellikler

Momentler



Bir α ve β parametreli beta dağılımlı rassal değişken olan ``X`` için beklenen değer ve varyans formülleri şöyle verilir:

\begin
 \operatorname(X)  = & \frac \  \operatorname(X) = & \frac
\end



Çarpıklık şöyle ifade edilir:

\frac }
   {(\alpha + \beta + 2) \sqrt{\alpha \beta. \,\!


Fazladan basıklık şudur:

6\,\frac
.\,\!

Enformasyon miktarlari



İki beta dağılımı gösteren rassal değişken ``X`` ~ Beta(α, β) ve ``Y`` ~ Beta(α`, β`) olsun. ``X`` için enformasyon entropisi değeri şudur:

\begin H(X) &= \ln\mathrm(\alpha,\beta)-(\alpha-1)\psi(\alpha)-(\beta-1)\psi(\beta)+(\alpha+\beta-2)\psi(\alpha+\beta) \end \,

burada \psi bir digamma fonksiyonu olur.

Çapraz entropi şudur

H(X,Y) = \ln\mathrm(\alpha`,\beta`)-(\alpha`-1)\psi(\alpha)-(\beta`-1)\psi(\beta)+(\alpha`+\beta`-2)\psi(\alpha+\beta).\,


Bundan çıkarilir ki bu iki beta dağılımı arasındaki Kullback-Leibler ayrılması şöyledir:

D_(\alpha`,\beta`)}
               (\alpha,\beta)} -
           (\alpha`-\alpha)\psi(\alpha) - (\beta`-\beta)\psi(\beta) + 
           (\alpha`-\alpha+\beta`-\beta)\psi(\alpha+\beta)



Şekiller



Beta olasılık yoğunluk fonksiyonu iki parametrenin aldığı değişik değere göre değişik şekiller gösterir.

  • \alpha < 1,\ \beta < 1 U-sekilli (kırmızı çizgi)
  • \alpha < 1,\ \beta \geq 1 veya \alpha = 1,\ \beta > 1 kesinlikle düşüş gösterir(mavi çizgi)
    • \alpha = 1,\ \beta > 2 kesinlikle konveks
    • \alpha = 1,\ \beta = 2 bir doğrudur
    • \alpha = 1,\ 1 < \beta < 2 kesinlike konkav
  • \alpha = 1,\ \beta = 1 tekdüze dağılım
  • \alpha = 1,\ \beta < 1 veya \alpha > 1,\ \beta \leq 1 kesinlikle artış gösterir (yeşil çizgi)
    • \alpha > 2,\ \beta = 1 kesinlikle konvekstir
    • \alpha = 2,\ \beta = 1 bir doğrudur
    • 1 < \alpha < 2,\ \beta = 1 kesinlikle konkavdir
  • \alpha > 1,\ \beta > 1 tek modludur (mor ve siyah çizgiler)


Bunların yanında, eğer \alpha = \beta ise yoğunluk fonksiyonu 1/2 etrafında simetriktir (kırmızı ve mor çizgiler).

Parametre kestirimi



\bar = \frac\sum_^N x_i


ifadesi örnek ortalamasi ve

v = \frac\sum_^N (x_i - \bar)^2


ifadesi örnek varyansı olarak alınsın. Kestrim değeri bulmak için kullanılan momentler-yöntemi kurallarına göre bu parametrelerin kestirimleri sırasıyla şu ifadelerle gösterilir:

\alpha = \bar \left(\frac (1 - \bar)} - 1 \right),


\beta = (1-\bar) \left(\frac (1 - \bar)} - 1 \right).


Eğer dağılım geçerliliği 0 ve 1 aralığından başka bir aralık için isteniyorsa, diyelim \ l ile \ h aralığında, o zaman \bar terimi verilen denklemlerde

\frac-l)} , and \ v with \frac


terimi ile değiştirlmesi gerekir. [2] [3].

İlişkili dağılımlar

  • Eğer ``X`` ve ``Y`` rassal değişkenleri birbirinden bağımsız olarak Gamma dağılımı gösteriyorlarsa yani ``X`` Gamma(&alpha;, &theta;) ve ``Y`` Gamma(&beta;, &theta;) ise, o zaman


``X``&nbsp;/&nbsp;(``X``&nbsp;+&nbsp;``Y``)


ifadesinin dağılımı Beta(&alpha;,&beta;) olur.

  • Eğer ``X`` ve ``Y`` rassal değişkenleri birbirinden bağımsız olarak biri Beta dağılımı ve diğeri 2&beta; ve 2&alpha; serbestlik dereceleri ile Snedor`un F-dağılımı gösteriyorlarsa, yani ``X`` Beta (&alpha;,&beta;) ve ``Y`` `F``(2&beta;,2&alpha;) ise; o halde
Pr(``X`` &le; &alpha;/(&alpha;+x&beta;)) = Pr(``Y`` > ``x``) butun ``x``&nbsp;>&nbsp;0 için.




X^2 \sim (1/2,1) \


veya Beta dağılımının özel bir hali olan 4 parametreli güç-fonksiyonu dağılımı için

X^2 \sim (0,1,1/2,1) \


olur.

  • Subjektif mantik konusunda ele alınan ``binom kanılari`` matematiksel olarak Beta dağılımı ile aynıdırlar .


Uygulamalar

B(i, j) tamsayı değerli i ve j için, 0 ve 1 aralığında tekdüze dağılım gösteren i+j-1 sayıda bağımsız rassal değişkenden oluşan bir örneklem içindeki sayıların (en küçükten en büyüğe doğru) sıralanması sonucu elde edilen sıralama içinde (i-1)inci sırada olan değerin dağılımını gösterir. Bu halde 0 ve x aralığı içinde yığmalı olasılık (i)inci en küçük değerin xden daha küçük olmasının olasılığını gösterir. Diğer bir şekilde ifade ile, bu yığmalı olasılık ortada bulunan rassal değişkenlerden an aşağı i tanesinin xden daha küçük değer gösteremesi olayının olasılığıdır.Bu olasılık p parametreli bir binom dağılımının x`e toplanması ile elde edilir. Bu beta dağılımı ile binom dağılımı arasındaki yakın ilişkiyi açıkca gösterir.

Beta dağılımları Bayes tipi istatistik içinde çok geniş uygulama göstermektedir. Beta dağılımları (Bernoulli dahil) binom ve geometrik dağılımlar için bir sıra eşlenik-önceller sağlamaktadır. Beta(0,0) dağılımı uygunsuz öncel olduğu için bircok kere parametre değerlerinin bilinmezliğini temsil için kullanılmaktadır.

Beta dağılımı, özellikte endüstriyel mühendislik ve yöneylem araştırması bilim alanlarında, belirli bir minimum değer ile belirli bir maksimum değer aralığı içinde sınırlanmş olayların ortaya çıkması şeklindeki pratik sorunların modellenmesi için kullanılır. Özellikle CPM tipi proje idaresi ve kontrolu kuramında, beta dağılımı ve üçgensel dağılım ile birlikte özellikle olasılık gösteren aktivite uzunluklarının tahmini için kullanılmaktadır. Proje idare ve kontrolu için çok kere kısa olarak yapılan hesaplarda, belli bir aktivite uzunluğu için Beta dağılımlarının ortalama ve varyans değerleri şu şekilde kullanılır:

\begin
\mathrm(X) &  = E(X)= \frac, \ \mathrm(X) &  = \frac,
\end

burada a minimum, c maksimum ve b en mümkün olabilir değerdir.

Kaynak

  • Kaynak wiki
|url=http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Beta_distribution|tarih=Mart 2008 |dil=İngilizce|madde=Beta_distribution

Dışsal bağlantılar



Olasılık Dağılımları

Kaynaklar

Vikipedi

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.

Beta
3 yıl önce

mayasından elde edilen ve bağışıklık sistemini güçlendiren doğal bir madde Beta, bir akvaryum balığı cinsi (Betta splendens) Beta dağılımı Beta bozunumu...

Beta, Beta (balık), Beta (harf), Beta sürüm, Anlam ayrım
Olasılık dağılımı
3 yıl önce

işlemi uygunlanmazsa, ortaya çıkan sonuca beta prime dağılım adı verilir.) Merkezsel olmayan F-dağılımı Gamma dağılımı: Belleksiz bir sürec içinde ortaya çıkan...

Beta fonksiyonu
3 yıl önce

listesi Beta dağılımı Binom dağılımı Jacobi toplamı,sonlu alanlar üzerinde beta fonksiyonunun analogları. Negatif binom dağılımı Yule–Simon dağılımı Tekdüze...

Bernoulli dağılımı
3 yıl önce

ayrık olasılık dağılımıdır. İsmi ilk açıklamayı yapan İsviçreli bilim adamı Jakob Bernoulli anısına verilmiştir. Eğer X Bernoulli dağılımı gösteren bir...

Bernoulli dağılımı, Olasılık Dağılımları, İstatistik, Aralıklı olasılık dağılımı, Basıklık, Beklenen değer, Benford`un savı, Beta dağılımı, Binom dağılım, Binom dağılımı, Bozulmuş dağılım
Geometrik dağılım
3 yıl önce

eşlenik önsel dağılımı bir Beta dağılımı olur. Eğer herhangi bir p parametre değeri için önsel olarak :Beta(α, β) verilmiş ise, sonsal dağılım şöyle ifade...

Geometrik dağılım, Olasılık Dağılımları, Aralıklı olasılık dağılımı, Basıklık, Beklenen değer, Benford`un savı, Bernoulli dağılımı, Beta dağılımı, Binom dağılımı, Bozulmuş dağılım, Dirac delta fonksiyonu
Student'in t dağılımı
3 yıl önce

bilim dallarında t-dağılımı ya da Student'in t dağılımı genel olarak örneklem sayısı veya sayıları küçük ise ve anakütle normal dağılım gösterdiği varsayılırsa...

Student`in t dağılımı, Olasılık Dağılımları, Basıklık, Beklenen değer, Benford`un savı, Bernoulli dağılımı, Beta dağılımı, Binom dağılımı, Bozulmuş dağılım, Dirac delta fonksiyonu, Dublin
Gamma dağılımı
3 yıl önce

ise, gamma dağılımı k tane üstel dağılım gösteren rassal değişkenlerin toplamını temsil eder; rassal değişkenlerin her biri nin üstel dağılımı için parametre...

Gamma dağılımı, Olasılık Dağılımları, MathWorld, Basıklık, Beklenen değer, Benford`un savı, Bernoulli dağılımı, Beta dağılımı, Binom dağılımı, Bozulmuş dağılım, Dirac delta fonksiyonu
Üstel dağılım
3 yıl önce

Y\sim \operatorname {Gumbel} (\mu ,\beta )} , olur yani Y Gumbel dağılımı gösterir. Eğer iki bağımsız üstel dağılımı olan X 1 {\displaystyle X_{1}\,} ve...

Üstel dağılım, Olasılık Dağılımları, Basıklık, Bağımsızlık, Beklenen değer, Benford`un savı, Bernoulli dağılımı, Beta dağılımı, Binom dağılımı, Bozulmuş dağılım, Dirac delta fonksiyonu