Türkçe Bilgi logo TürkçeBilgi

Weierstrass-Casorati Teoremi

Kısaca: Weierstrass-Casorati teoremi, holomorf fonksiyonların esaslı tekillikler civarındaki olağanüstü davranışlarını açıklayan bir ifadedir. Teorem, Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ve Felice Casorati'ye atfen isimlendirilmiştir. ...devamı ☟

Weierstrass-Casorati teoremi, holomorf fonksiyonların esaslı tekillikler civarındaki olağanüstü davranışlarını açıklayan bir ifadedir. Teorem, Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ve Felice Casorati'ye atfen isimlendirilmiştir. z0 'ı içeren, karmaşık düzlemin açık bir altkümesi U ile ve z0 'da esaslı tekilliği olan, U - üzerinde tanımlı holomorf bir f fonksiyonuyla başlayalım. Bu halde, Weierstrass-Casorati teoremi şunu ifade eder: :V, U içinde yer alan, z_'ın bir komşuluğu ise, o zaman f(V - ) C 'de yoğundur. Ayrıca şu şekilde de ifade edilebilir: :herhangi bir ε > 0 ve karmaşık sayı w için, U 'da öyle bir z karmaşık sayısı vardır ki |z - z0| < ε ve |f(z) - w| < ε olur. Teorem büyük ölçüde üstteki gösterimle f 'nin V içinde en fazla bir nokta istisnasıyla tüm karmaşık değerleri sonsuz kere aldığını ifade eden Picard'ın büyük teoremi ile güçlendirilmiştir. Örnekler f(z) = exp(1/z), z0 = 0'da esaslı tekilliğe sahiptir; ancak g(z) = 1/z3 'ün esaslı tekilliği yoktur (0'da bu fonksiyonun kutbu vardır). f(z)=e^} fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonun esaslı tekilliği olan z=0 etrafında şu Laurent serisi vardır. f(z)=\displaystyle\sum_^\frac}. z \neq 0 olan tüm noktalar için f'(z) =\frac}}} var olduğundan, f(z) 'nin z=0 'ın komşuluğunda analitik olduğunu biliyoruz. Bu yüzden, diğer bütün esaslı tekillikler gibi korunmalı tekilliktir. Değişken değiştirme ile kutupsal koordinatlar z=re^ 'ya dönersek, fonksiyonumuz f(z)=e^} f(z)=e^e^}=e^\cos(\theta)}e^ haline gelir. Her iki tarafın mutlak değerini alırsak \left| f(z) \right| = \left| e^cos \theta} \right| \left| e^ \right | =e^\cos \theta} elde ederiz. Bu yüzden, \cos \theta >0 olan \theta değerleri için, r \rightarrow 0 iken f(z)\rightarrow\infty olur ve \cos \theta <0 için, r \rightarrow 0 iken f(z) \rightarrow 0 olur. Sanal eksene teğet olan \frac çaplı çember üzerinde z değer alırsa neler olabileceğini düşünelim. Bu çember r=\frac\cos \theta ile verilir. O zaman, f(z) = e^ \left \cos \left( R\tan \theta \right) - i \sin \left( R\tan \theta \right) \right ve \left| f(z) \right| = e^ olur. Bu yüzden, \left| f(z) \right| uygun bir R seçimi ile sıfır dışında bütün pozitif değerleri alır. Çember üzerinde z \rightarrow 0 oldukça, R sabit iken \theta \rightarrow \frac olur. Denklemin \left \cos \left( R \tan \theta \right) - i \sin \left( R \tan \theta \right) \right parçası, birim çember üzerindeki bütün değerleri sonsuz kere alır. Bu yüzden f(z), karmaşık düzlemdeki sıfır dışındaki tüm değerleri sonsuz kere alır. Kanıt Teoremin kısa bir kanıtı şu şekildedir: f, delikli bir V - z0 komşuluğunda holomorf olsun ve z0 esaslı tekillik olsun. Ayrıca, f(V - ), C 'de yoğun olmasın; yani f(V - ) 'ın kapanışında yer almayan bir b olsun. O zaman, V - üzerinde tanımlı :g(z) = \frac fonksiyonu sınırlıdır ve bu yüzden V 'nin tümüne holomorf bir şekilde genişletilebilir. Böylece, V - üzerinde :f(z) = \frac + b olur. :\lim_ g(z) limitinin iki çeşit durumunu ele alalım. Limit 0 ise, o zaman f 'nin z0 'da kutbu vardır. Limit 0 değilse, o zaman z0 kaldırılabilir tekilliktir. Her iki olası sonuç da teoremin varsayımıyla çelişmektedir. Bu yüzden teorem doğrudur.

Kaynaklar

Vikipedi

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.