Türkçe Bilgi logo TürkçeBilgi

Mutlak Değer

Kısaca: Matematikte, mutlak değer (ya da mutlak değer fonksiyonu) bir gerçel sayının işaretsiz sayısal değerini verir. Örneğin, 3; hem 3`ün hem de −3`ün mutlak değeridir. Bilgisayarlarda ise, bu fonksiyonu ifade etmek için kullanılan matematiksel fonksiyon genelde abs(...)`dir (Örneğin: ...devamı ☟

mutlak değer
Mutlak Değer

Matematikte, mutlak değer (ya da mutlak değer fonksiyonu) bir gerçel sayının işaretsiz sayısal değerini verir. Örneğin, 3; hem 3`ün hem de −3`ün mutlak değeridir. Bilgisayarlarda ise, bu fonksiyonu ifade etmek için kullanılan matematiksel fonksiyon genelde abs(...)`dir (Örneğin: abs(−8)=|−8|=8 gibi).

Mutlak değer fonksiyonunun gerçel sayılarla kullanımı dışında, geniş bir matematiksel kullanım alanı vardır. Örneğin, mutlak değer karmaşık sayılar gibi kümeler için de tanımlanabilir.



Gerçel sayılar

Her a, gerçel sayısının mutlak değeri |a|, şeklinde ifade edilir ve şu şekilde tanımlanır:

|a| = \begin a, & a \ge 0 \\ -a, & a < 0. \end


Yukarıda da görüldüğü gibi a`nın mutlak değeri ya artı ya da sıfır değerini alacak, hiçbir zaman eksi değeri almayacaktır.

Geometrik anlamda, bir gerçel sayının mutlak değeri onun sayı doğrusunda sıfıra olan uzaklığıdır. Daha genel anlamdaysa mutlak değer iki reel sayı arasındaki farkı, sayı doğrusunda aralarındaki uzaklık olarak verir.

Aşağıdaki yordamlar bir mutlak değerin çözümünde yardımcı olabilecek önermeler içerir.

1. ÖNERME:
|a| = \sqrt


2. ÖNERME:

Mutlak değer aşağıdaki dört temel özelliğe sahiptir:

{| cellpadding=10
|- ||a| \ge 0 |Negatif olmama |- ||a| = 0 \iff a = 0 |Sıfır eşitliği |- ||ab| = |a||b|\, |Çarpanlara ayrılabilme |- ||a+b| \le |a| + |b| |Schwarz Eşitsizliği |}

3. ÖNERME:

Mutlak değerin diğer önemli özellikleri ise:

{| cellpadding=10
|- ||-a| = |a|\, |Simetri |- ||a - b| = 0 \iff a = b |a ve b eştir |- ||a - b| \le |a - c| +|c - b| |Üçgen eşitsizliği |- ||a/b| = |a| / |b| \mbox b \ne 0) \, |Bölmenin ayrılması (çarpanlara ayrılabilirlik gibi) |- ||a-b| \ge |a| - |b| |(Alt toplananlara ayrılabilirlik) |}

Diğer iki kullanışlı eşitsizlikler ise:
|a| \le b \iff -b \le a \le b
|a| \ge b \iff a \le -b \mbox b \le a


Aşağıdakilerse genelde eşitsizlik çözümünde kullanılır; örneğin:

{|
|- ||x-3| \le 9 |\iff -9 \le x-3 \le 9 |- | |\iff -6 \le x \le 12 |}

Karmaşık sayılar



Karmaşık sayılara kadar olan kısımda, verilen mutlak değer özellikleri karmaşık sayılar kümesine aynen uygulanamaz. Önerme 1`i ele alırsak:
|a| = \sqrt
her gerçel sayının bir karmaşık sayı olduğunu ve,

bir karmaşık sayının

z = x + iy\,


olduğunu düşünürsek göreceğiz ki, gerçel sayılarda y katsayısı 0`a eşit. Öyleyse gerçekte z`nin mutlak değer (ya da karmaşık sayılarda bazen modül olarak adlandırılır) şu şekilde tanımlanabilir.

|z| = \sqrt.


Öyleyse bir gerçel sayıda bu işlemi şöyle gerçekleştirebiliriz:

|x + i0| = \sqrt = \sqrt = |x|.


Mutlak değer bir sayının orijine uzaklığını verir. Karmaşık sayılar iki boyutlu düzlem üzerinde incelendiğinden Pisagor teoremi iki nokta arasındaki uzaklığı bulmada işimize yarayacaktır.Karmaşık düzlemde iki karmaşık sayı arasındaki uzunluğu bulmak içinse aynı gerçel sayılardaki gibi iki sayının farkının mutlak değerini alırız.

Karmaşık sayılar yukarıda verilen 2. ve 3. önermelerin tüm özelliklerini taşır. Bununla beraber,

z = x + \mathrmy = r (\cos \phi + \mathrm\sin \phi) \,


ise, ve

\bar = x - iy


z karmaşık sayısının eşlenik`i ise, açıkça görülür ki:

|z| = r\,


|z|=|\bar|


|z| = \sqrt}


Kaynaklar

Vikipedi

İlgili konular

í–nerme karmaşık sayılar karmaşık sayı pisagor teoremi fonksiyon gerçel sayı matematik üçgen eşitsizliği simetri eşlenik

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.

Mutlak değer
3 yıl önce

Matematikte, mutlak değer bir gerçek sayının işaretsiz değerini verir. Örneğin, 3; hem 3'ün hem de -3'ün mutlak değeridir. Bilgisayarlarda ise, bu ifade...

Mutlak değer, í–nerme, Karmaşık sayılar, Karmaşık sayı, Pisagor teoremi, Fonksiyon, Gerçel sayı, Matematik, Üçgen eşitsizliği, Simetri, Eşlenik
Mutlak Sıfır
3 yıl önce

Mutlak sıfır, bir maddenin moleküllerinin entropisinin minimum değerine ulaştığı teorik sıcaklıktır. 0 Kelvin, –273,15 °Celsius, 0 °Rankine ve -459,67 °Fahrenhayta...

Mutlak sıfır, Mutlak sıfır
Maksimum ilkesi (karmaşık analiz)
6 yıl önce

veya en büyük mutlak değer teoremi holomorf bir f {\displaystyle f} fonksiyonunun tanım kümesi olan bir bölgede fonksiyonun mutlak değeri olan | f | {\displaystyle...
Artı değer
3 yıl önce

süreci ayrımını, artı-değer oranının hesaplanmasinı, nispî artı-değer ile mutlak artı-değerin ayrımını vb. ortaya koyar. Artı-Değer Teorileri,K.Marx, Sol...

Artı değer, Artı değer
Tam sayı
3 yıl önce

Mutlak değer, sayının başlangıç noktasına uzaklığını ifade eder. Başlangıç noktasına eşit uzaklıktaki sayılar mutlak değere eşittir. Mutlak değer içindeki...

Tam sayılar, Almanca, Bağıntı, Belit, Birim öğe, Birleşme, Doğal Sayılar, Doğal sayılar, Gerçel sayılar, Gönderme (Matematik), Halka
Mutlak
3 yıl önce

kullanılışı dikkate değerdir. Bir yanda Spinoza'nın Tümtanrıcı felsefesinde ve bundan kaynaklı tartışmalarda belirgin bir yer tutar mutlak kavramı, bir yanda...

Mutlak, 17. yüzyıl felsefesi, 18. yüzyıl felsefesi, 19. yüzyıl felsefesi, 20. yüzyıl felsefesi, Analitik felsefe, Antik Çağ felsefesi, Aydınlanma Çağı, Batı felsefesi, Bilim, Bilim felsefesi
Beklenen değer
3 yıl önce

değişkenin matematiksel beklentisinin (veya beklenen değerinin) mutlak değeri, mutlak değerinin matematiksel beklentisinden daha küçük olur veya ona eşittir:...

Beklenen değer, Matematik, Taslak, İlişkisiz, Normalizasyon (matematik), İşlemci (Matematik), Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu, Olasılık fonksiyonu, Doğrusal, Raslantı Değişkeni
İşaret Fonksiyonu
3 yıl önce

\over |x|}\qquad \qquad } İşaret fonksiyonu, mutlak değer fonksiyonunun türevidir. (mutlak değerin x=0 değerinde türevsizliğine dikkat ediniz): d | x | d...