Otoregresif Hareketli Ortalamalar Modeli

İstatistik`te George Box ve M.Jenkins`e ithafen Box Jenkins modelleri olarak da bilinen otoregresif hareketli ortalamalar modelleri, zaman serisi verilerinde uygulanır.

``X``_``t`` şeklinde bir zaman serisi verisi (``datası``) verildiğinde, ARMA modeli, serinin gelecek dönemlerdeki değerlerini anlamak ve hatta öngörmek için kullanılır. Model iki kısımdan oluşur. Bunlardan birisi otoregresif kısım (AR), diğeri ise hareketli ortalamalar kısmıdır. Model, genellikle ``p`` otoregresif kısmın derecesi, ``q`` ise hareketli ortalama kısmının derecesi olmak üzere ARMA(``p``,``q``) modeli şeklinde gösterilir.

Otoregresif Model

AR(``p``) ifadesi p. dereceden otoregresif bir modeli tanımlar. AR(``p``) modeli şöyle gösterilir:

X_t = c + \sum_^p \phi_i X_+ \epsilon_t .\,

\phi_1, \ldots \phi_p

, modelin parametrelerini;

c

, sabit terimi;

\epsilon_t

ise hata terimini simgeler. Pek çok yazar tarafından basitleştirme maksadıyla sabit terim ihmal edilir. Modelin durağan olması için parametreler üzerinde kısıtlamaya gidilmelidir. Örneğin |φ₁| > 1 durumunun geçerli olduğu bir AR(1) modeli durağan değildir.

Örnek: AR(1) Süreci

AR(1) süreci:

X_t = c + \phi X_+\epsilon_t,\,

şeklinde tanımlanır.

\epsilon_t

, beyaz gürültülü ve 0 ortalamaya sahip

\sigma^2

varyanslı bir süreçtir. Eğer,

|\phi|<1

sağlanırsa süreç kovaryans durağandır. Eğer

\phi=1

sağlanıyorsa süreç birim kök içermektedir ve durağan olduğu söylenemez.

\phi=1

durumu aynı zamanda rassal yürüyüş olarakta bilinen özel bir durumdur. Bu durumda

X_t

için beklenen değeri hesaplamak mümkün değildir.

AR Parametrelerinin Hesaplanması

X_t = \sum_^p \phi_i X_+ \epsilon_t.\,

denklemi ile verilen bir AR(``p``) modeli

\phi_i

parametrelerine dayanır. Bu parametreler Yule-Walker denklemleri ile hesaplanır:

\gamma_m = \sum_^p \phi_k \gamma_ + \sigma_\epsilon^2\delta_m

``m = 0...p`` olup sonuçta ``p+1`` tane denklem ortaya çıkar.

\gamma_m

, X`in otokorelasyon fonksiyonu olup

\sigma_\epsilon

girdi gürültü sürecinin standart hatasıdır. Î´_m ise Kronecker Delta Fonksiyonu`nu gösterir.

Denklemin son kısmı yalnızca m=0 olma durumunda sıfırdan farklı olacağından, denklem m>0 koşulunu sağlayan bir matris şeklinde ifade edilerek çözülür.

\begin
\gamma_1 \\gamma_2 \\gamma_3 \... \\end

=

\begin \gamma_0 & \gamma_ & \gamma_ & ... \\gamma_1 & \gamma_0 & \gamma_ & ... \\gamma_2 & \gamma_ & \gamma_ &... \... & ... & ... &... \\end

\begin \phi_ \\phi_ \\phi_ \... \\end

m=0 için bütün

\phi

ler elde edildiğinde.

\gamma_0 = \sum_^p \phi_k \gamma_ + \sigma_\epsilon^2

ifadesi ortaya çıkar ki bu

\sigma_\epsilon^2

değerini bulmamızı sağlar.

Hareketli Ortalamalar Modeli

MA(``q``) ifadesi, ``q``. dereceden bir hareketli ortalamalar modelini ifade eder

X_t = \varepsilon_t + \sum_^q \theta_i \varepsilon_\,

θ₁, ..., θ_``q`` modelin parametreleridir ε_t, ε_t-1,... modelin hata terimleridir.