Türkçe Bilgi logo TürkçeBilgi

Momentler

Kısaca: Matematik bilimi içinde moment kavramı fizik bilimi için ortaya çıkartılmış olan moment kavramından geliştirilmiştir. ...devamı ☟

Matematik bilimi içinde moment kavramı fizik bilimi için ortaya çıkartılmış olan moment kavramından geliştirilmiştir. Bir bir reel değişkenin reel-değerli fonksiyon olan f(x)in c değeri etrafında ninci momenti şöyle ifade edilir: :\mu'_n=\int_^\infty (x - c)^n\,f(x)\,dx. Sıfır değeri etrafında olan momentler en basit olarak bir fonksiyonun momenti diye anılır. Olasılık kuramı ve istatistik bilim dalları için momentlerin ilgili olduğu fonksiyonlar bir rassal değişken için olasılık yoğunluk fonksiyonu ile ilgilidir. Bir olasılık yogunluk fonksiyonun sıfır etrafındaki ninci momenti Xnin matematiksel beklentidir. Ortalama μ etrafındaki momentler merkezsel momentler olarak adlandırılır; bunlar bir fonksiyonun şekilini betimlerler. Eğer f bir olasılık yoğunluk fonksiyonu ise, o halde yukarıda verilmiş olan entegralin değeri olasılık dağılımınin ninci moment Riemann-Stieltjes entegrali tarafından şöyle verilir: :\mu'_n = \operatorname(X^n)=\int_^\infty x^n\,dF(x)\, Burada X bu dağılımı gösteren bir rassal değişken ve E bir beklenti operatörüdür. Eğer :\operatorname(|X^n|) = \int_^\infty |x^n|\,dF(x) = \infty,\, ise momentin mevcut olmadığı kabul edilir. Egğr herhangi bir nokta etrafında ninci moment belirlenebilirse, o halde (n - 1)inci moment de bulunur ve her bir nokta etrafında daha-alt derecelerdeki momentler de bulunur. Momentlerin önemi için ilk dört momentin herbirini sırayla artırıp diğerlerini sabit tutarak ortaya çıkan eğriler] Sıfır etrafindaki birinci moment, eğer anlamlı ise, Xin matematiksel beklentisi yani μ olarak yazılan Xin olasılık dağılımının ortalamasıdır. Daha yüksek dereceler icin merkezsel momentler sıfır etrafında momentlerden daha ilgi çekicidir. Bir rassal değişken olan Xin olasılık dağılımının ninci merkezsel momenti şudur: :\mu_n=E((X-\mu)^n).\, Böylece birinci merkezsel moment 0 olur.

Varyans

İkinci merkezsel moment varyans σ2 olur; bunun pozitif kare kökü standart sapma σ olur.

Normalize edilmiş momentler

Normalize edilmiş ninci merkezsel moment veya standardize edilmis moment ninci merkezsel moment bolu σn olur; yani t = (x - μ)/σ ifadesinin ninci momentidir. Bu normalize edilmiş momentler boyutsuz niceliklerdir ve herhangi bir dogrusal iskala degişiminden etkilenmeden bir dagilimi temsil edebilirler.

Çarpıklık

Üçüncü merkezsel moment bir dağılımın simetrik olmaması ölçüsüdür. Herhangi bir simetrik dağılım için üçüncü merkezsel moment, eğer tanımlanabilirse, 0 olur. Normalize edilmiş üçüncü merkezsel moment γ ile yazılıp çarpıklık adı ile anılır. Sol tarafa çarpıklık gösteren (yani sol kuyruğu daha ağır basan) bir dağılım negatif çarpıklık gösterir. Sağ tarafa çarpıklık gösteren (yani sağ kuyruğu daha ağır basan) bir dağılım pozitif çarpıklık gösterir. Normal dağılımdan çok fazla farklı olmayan dağılımlar icin medyan μ - γσ/6 değerine yaklaşık olur ve mod ise μ - γσ/2 ifadesine yaklaşıktır.

Basıklık

Dördüncü merkezsel moment dağılımın ince ve sivri mi yoksa kalın ve basık mı olduğunun ölçüsüdür ve bu niteliği ayırt etmek için aynı varyansı gösteren bir normal dağılım ile karşılaştırma yapılır. Dördüncü merkezsel moment, bir dörtlü üstelin matematiksel beklentisi olduğu için, eğer tanımı yapılabilirse, (sadece dejenere nokta dağılım hariç) her zaman pozitif değer alır. Bir normal dağılım için dördüncü merkezsel moment 3σ4 olur.

Basıklık

 ölçüsü olarak kullanılan basıklık fazlalığı katsayısı κ, normalize edilmiş dördüncü merkezsel moment eksi 3 olarak tanımlanır. (Gelecek kısımda gösterildiği gibi, bu ölçü dördüncü kümülant bölü varyans kare olarak da tanımlanır.) Bazı otoriteler bu şekilde normal dağılımı koordinatların orijinine koymak için kullanılan eksi 3 terimini tenkit etmektedirler. Eğer bir dağılım ortalama değerinde bir doruk ve iki tarafında uzun kuyruklar gösterirse, dördüncü moment değeri büyük olur ve basıklık ölçüsü κ pozitifdir; aksi halde dördüncü moment değeri küçük ve basıklık ölçüsü κ negatif olur. Böylece sınırlanmiş dağılımlarda basıklık düşüktür.

Basıklık

 ölçüsü hiç sınırsız bir şekilde pozitif olması mümkündür ve κ değeri mutlaka γ2 - 2; değerine eşit veya bu değerden büyük olmalıdır. κ değeri ile γ2 - 2; değeri eşitliği ise ancak ve ancak Bernoulli dağılımı için doğrudur. Normal dağılımdan çok farklı şekil göstermeyen sınırsız çarpıklık goösteren dağılımlar için κ değeri γ2 ile 2γ2 arasında bulunur. Bu eşitsizlik terimin isbat etmek için önce şu terimi ele alalım: :\operatorname ((T^2 - aT)^2)\, Bunda T = (X - μ)/σ olur. Bu bir karenin matematiksel bekleyişidir. a degeri ne olursa olsun bu non-negatiftir ve ayni zamanda a ifadesinde bir kuadratik denklem olur. Bu da isbati istenilen ifadedir. Kümülantlar Birinci moment ve ikinci ve üçüncü normalize edilmemiş merkezsel momentler doğrusaldırlar; yani eğer X ve Y istatistiksel olarak bağımsız rassal değişkenlerse, o halde :\mu_1(X+Y)=\mu_1(X)+\mu_1(Y)\, ve :\operatorname(X+Y)=\operatorname(X)+\operatorname(Y) ve :\mu_3(X+Y)=\mu_3(X)+\mu_3(Y).\, eşitlikleri gerçektir. (Bu şartlar yalnız bağımsızlık şartına değil daha zayıf şartlar altında bulunan değişkenler için de gerçek olabilir.) Birinci şart her zaman doğru olup ikinci şart da doğru olursa bu değişkenler arasında korelasyon yoktur. Bunun doğruluğunu anlamak için bu momentlerin ilk üç kümülant olduklarını ve dördüncü kümülantin ise basıklık katsayısı κ çarpı σ4 olduğunu anlamak yeterlidir. Bütün kümülantlar momentlerin polinomlarıdır yani momentlerdir. Merkezsel momentler sıfır etrafındanki momentlerin polinomlarıdır ve bunun aksi de doğrudur. Örneklem momentleri Bir anakütle için momentler bir örneklem k-inci momenti kullanılarak kestirimi yapılabilirler. Orneklem k-inci momenti şöyle ifade edilir: :\frac\sum_^ X^k_i\,\! ve bu anakütleden rassal örneklem ile seçilmiş X1,X2,..., Xn örneklem değerlerine uygulanır. Bu bir yansız kestirimdir. Çünkü herhangi bir n büyüklükte bir örneklem için örneklem momentinin matematiksel beklenen değerinin anakütle k-inci momentine eşit olduğu hemen göosterilebilir. Ayrıca bakınız * Binom dağılım * Kümülant * Momentler yöntemi * Ortalama etrafinda moment * Moment üreten fonksiyon * Normal dağılım * Standardize edilmiş moment

Kaynaklar

Vikipedi

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.

Moment (matematik)
6 yıl önce

momenti Xnin matematiksel beklentidir. Ortalama μ etrafındaki momentler merkezsel momentler olarak adlandırılır; bunlar bir fonksiyonun şeklini betimlerler...
Moment magnitüd ölçeği
3 yıl önce

Moment magnitüd ölçeği (İngilizce: Moment magnitude scale), depremler esnasında ortaya çıkan enerjiyi ölçmeye yarayan bir sistem. Bu ölçek 1979 yılında...

Moment magnitüd ölçeği, Deprem, Logaritma, Magnitüd, Moment, Richter, Richter ölçeği, Sabit, Yerel magnitüd ölçeği, İngilizce, Newton metre
Moment (fizik)
3 yıl önce

Fizik'te moment, fiziksel niceliğin mesafe ile bileşimidir. Momentler, genellikle sabit bir referans noktasına ya da eksene göre tanımlanırlar, ilgili...

Moment (fizik), Dişli, Fizik, KW, Kaldıraç, Makara, Taslak, Vektör, D/d, Mekanik avantaj
Merkezsel moment
6 yıl önce

merkezsel momentler de anlamsızdır. İlk birkaç merkezsel moment için biraz sezgiye dayanan açıklamalar şöyle verilebilir: Birinci merkezsel moment sıfırdır...
Caught in a Moment
6 yıl önce

"Caught in a Moment", İngiliz grup Sugababes tarafından üçüncü stüdyo albümleri Three için kaydedilen bir şarkıdır. Yazarlığını grup üyeleri Mutya Buena...
Moment üreten fonksiyon
3 yıl önce

M_{X}(t)=E\left(e^{tX}\right),\quad t\in \mathbb {R} ,} Moment üreten fonksiyon bir olasılık dağılımı için momentler üretmek için ortaya atılmıştır. Gerçel bileşenli...
Standardize edilmiş moment
6 yıl önce

olur. Böylece normalize edilmiş momentler k dereceli homojen polinomdurlar. Bu demektir ki standarize edilmiş momentler ölçeğe göre değişmez. Bir olasılık...
Açısal momentum
3 yıl önce

parçacıkların sahip olduğu açısal momentumların toplamına eşittir. Simetri ekseni üzerinde dönüş yapan bir cismin açısal momentumu eylemsizliğinin (cismin yerinin...

Açısal momentum, Açısal momentum