Türkçe Bilgi logo TürkçeBilgi

Kümülant

Kısaca: Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında bir rassal değişken Xin μ = E(X) olarak ifade edilen beklenen değeri ve σ² = E((X - μ)²) olarak ifade edilen varyansı bulunur. ...devamı ☟

kümülant olurak belirlenirler; yani : κ1 = μ ve κ² = σ². n tane kümülant κn bir 'kümülant üreten fonksiyon tarafından belirlenir; bu fonksiyon g(t) olarak şöyle ifade edilebilir: :g(t)=\log(E (e^))=\sum_^\infty\kappa_n \frac=\mu t + \sigma^2 \frac + \cdots. Bu fonksiyonun türevleri var olduğu kabul edilirse, kümülantlar g(t) fonksiyonunun (sıfırda) türevleri ile şöyle verilir: :κ1 = μ = g' (0), :κ2 = σ² = g' '(0), :κn = g(n) (0). κn kümülantlari verilmiş olan bir olasılık dağılımı Edgeworth serileri açılımı suretiyle yaklaşık olarak bulunabilir. Tarihçe Kümülant kavramı 1889da Danimarkalı matematikçi ve istatistikçi N. Thiele] (1838 - 1910) tarafından yarı-değişmezler adı altında ortaya atılmıştır. Kümülant adı ilk defa İngiliz istatistikcisi Ronald Fisher tarafından ortaya atilip sonradan bu kavram Fisher ve İngiliz istatistikçi Wishart tarafından geliştirilmiştir. Momentler ve kümülantlar Bir olasılık dağılımı için kümülantlar o dağılımın momentleri ile yakindan iliş$kilidir. Kümülant kavramının gelistirilmesi ve bunların momentler kavramına pratik kulanımda tercih edilmesi nedeni bağımsız iki rassal değişken X ve Y için şu ifadenin bulunmasına bağlıdır; :g_(t)=\log(E(e^))=\log(E(e^)\cdot E(e^))=\log(E(e^))+\log(E(e^))=g_(t)+g_(t) \,. Böylece her kümülant daha önce toplam olarak elde edilmiş karşit kümülantların toplamının bir toplamı olur. Moment üreten fonksiyon şöyle verilir: :1+\sum_^\infty \frac=\exp\left(\sum_^\infty \frac\right) = \exp(g(t)). Böylece kümülant üreten fonksiyon moment üreten fonksiyonun logaritmasıdır. Birinci kümülant beklenen değer; ikinci kümülant
ve ikinci ve üçüncü kümülant merkezsel momentler olur. Ancak daha yüksek derecede kümülantlar ne momentler ne de merkezsel momentlere karşıttırlar. Kümülantlar momentlere şu (yineleme) formülü ile bağlıdrlar: :\kappa_n=\mu'_n-\sum_^\kappa_k \mu_'. ninci moment μ′n ilk n kümülant ile kurulmuş ninci derece bir polinomdur; yani (Bunun katsayıları hep pozitif olur ve Faà di Bruno'nin formülünde bulunan katsayılardır.) :\mu'_1=\kappa_1\, :\mu'_2=\kappa_2+\kappa_1^2\, :\mu'_3=\kappa_3+3\kappa_2\kappa_1+\kappa_1^3\, :\mu'_4=\kappa_4+4\kappa_3\kappa_1+3\kappa_2^2+6\kappa_2\kappa_1^2+\kappa_1^4\, :\mu'_5=\kappa_5+5\kappa_4\kappa_1+10\kappa_3\kappa_2 +10\kappa_3\kappa_1^2+15\kappa_2^2\kappa_1 +10\kappa_2\kappa_1^3+\kappa_1^5\, :\mu'_6=\kappa_6+6\kappa_5\kappa_1+15\kappa_4\kappa_2+15\kappa_4\kappa_1^2 +10\kappa_3^2+60\kappa_3\kappa_2\kappa_1+20\kappa_3\kappa_1^3+15\kappa_2^3 +45\kappa_2^2\kappa_1^2+15\kappa_2\kappa_1^4+\kappa_1^6.\, Merkezsel momentler olan μn ('DIKKAT μ′n DEĞIL') ile kümülant bağlılığı şöyledir: :\mu_1=0\, :\mu_2=\kappa_2\, :\mu_3=\kappa_3\, :\mu_4=\kappa_4+3\kappa_2^2\, :\mu_5=\kappa_5+10\kappa_3\kappa_2\, :\mu_6=\kappa_6+15\kappa_4\kappa_2+10\kappa_3^2+15\kappa_2^3.\, Karekteristik fonksiyon ve kümülantlar Bazı istatistikçiler kümülant üreten fonksiyonu başka bir yol kullanarak karekteristik fonksiyonlar yoluyla şöyle tanimlamayi tercih ederler. :h(t)=\log(E (e^))=\sum_^\infty\kappa_n \cdot\frac=\mu it - \sigma^2 \frac + \cdots.\, Bu türlü tanımlamanın avantaji eğer daha yüksek derecelerde momentler bulunmasa bile uygun kümülantlarin elde edilmesini sağlamasıdır. Ayrıca bakınız * Momentler * Merkezsel moment * Moment üreten fonksiyon Dış bağlantılar * * [1] Kumulant - bazı matematiksel sözcük ve ifadelerin ilk kullanışları.

Kaynaklar

Vikipedi

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.