Farklı durumlar için farklı korelasyon katsayıları geliştirilmiştir. Bunlardan en iyi bilineni Pearson moment çarpım korealsyon katsayısıdır. İki değişkenin kovaryansının, yine bu değişkenlerin standart sapmalarının çarpımına bölünmesiyle elde edilir. Pearson ismiyle bilinmesine rağmen ilk olarak Francis Galton tarafından bulunmuştur.
Pearson moment çarpım korelasyon katsayısı
Matematiksel Özellikleri
Beklenen değerleri μ``X`` ve μ``Y``, standart sapmaları σ``X`` ve σ``Y`` olan iki bağımsız değişken ``X`` ve ``Y`` arasındaki korelasyon katsayısı (ρ``X, Y``), şu şekilde tanımlanır:
\rho_=(X,Y) \over \sigma_X \sigma_Y} =, ``E`` değişkenin beklenen değerini, cov ise kovaryansı ifade eder,
μ``X`` = E(``X``) olduğundan, σ``X``2 = E(``X``2) − E2(``X``) ve
``Y``, için de aynısı geçerli olduğundan, şu ifadeyi yazabiliriz:
Korelasyon, yalnızca standart hataların ikisi de sonlu ve sıfırdan farklı ise tanımlıdır. Korelasyon katsayısının 1`i (mutlak değer olarak) geçemeyeceği ise Cauchy-Schwarz eşitliğinin doğal bir sonucudur.
Tam bir artan doğrusal ilişkinin varlığı halinde korelasyon katsayısı 1 değerini alır, tam bir azalan ilişkinin varlığı halinde ise korelasyon katsayısı -1 değerini alır. Katsayının alabileceği diğer tüm değerler ise ilişkinin doğrusallığına bağlı olarak bu iki değer arasında olacaktır. Katsayı 1`e veya -1`e ne kadar yakınsa ilişkinin doğrusallığı o kadar güçlüdür.
Değişkenler istatistiksel olarak bağımsız ise korelasyon 0`dır fakat bunun tersi doğru değildir, çünkü korelasyon katsayısı yalnızca doğrusal olan ilişkiyi belirler.
Bir örnek: Tesadüfi``X`` değişkeninin −1 ve 1 aralığında tekdüze dağıldığını varsayalım ve ``Y`` = ``X``2 ilişkisi geçerli olsun. Bu durumda ``Y`` tamamen ``X`` tarafından belirlenmiştir, öyle ki ``X`` ve ``Y`` birbirlerine bağımlıdır, fakat Pearson anlamdaki korelasyon 0 olacaktır. Ne var ki, ``X`` ve ``Ynin birlikte normal dağıldığı durumda, istatistiksel bağımsızlık aynı zamanda korelasyonun da olmaması anlamına gelir.
