Türkçe Bilgi: Fresnel integrali

Fresnel integrali, S(x) ve C(x), iki transendental fonksiyon'dur. Augustin-Jean Fresnel'e atfedilmiştir ve optikte kullanılmaktadır. Yakın alan Fresnel difraksiyon fenomeninde ortaya çıkar; aşağıdaki integral gösterimi ile tanımlanırlar: :

S(x)=\int_0^x \sin(t^2)\,dt,\quad C(x)=\int_0^x \cos(t^2)\,dt.

S(x) ve C(x)'in eş zamanlı parametrik çizimleri, Cornu spirali veya klotoid olarak bilinen

Euler spirali

'dir. Tanım Fresnel integralinin kuvvet serisi açılımı bütün x 'ler için yakınsaktır: :

S(x)=\int_0^x \sin(t^2)\,dt=\sum_^(-1)^n\frac},

C(x)=\int_0^x \cos(t^2)\,dt=\sum_^(-1)^n\frac}.

\fract^2

ifadesi Abramowitz ve Stegun gibi bazı yazarlar (denk. 7.3.1 – 7.3.2) tarafından S(x) ve C(x)'i tanımlayan integrallerin argümenti olarak kullanılır. Bu fonksiyonların eldesi için, yukarıdaki integraller ve x argümenti

\sqrt}

ile bölünür. Euler spirali Euler spirali,aynı zamanda Cornu spirali olarakta bilinir. veya clothoid denir,S(t) ye karşı C(t) olarak bir parametrik koordinat tarafından yaratılan grafiktir.Cornu spirali Marie Alfred Cornu tarafından bilim ve mühendislikte bir nomogram olarak kırınım hesabı şeklinde yaratılmış idi. . Fresnel integralinin tanımı,sonsuzküçük dx ve dy olmak üzere: :

dx = C'(t)dt = \cos(t^2) dt \,

dy = S'(t)dt = \sin(t^2) dt \,

Böylece orijinden spiralin uzunluk ölçümü şöyle ifade edilebilir: :

L = \int_0^t } = \int_0^t = t

Bu , parametresi orijinden (0,0) ve sonsuz uzunluğu

Euler spirali

idi . Spiral boyunca bu vektör aynı zamanda birim tanjent vektör olarak ifade edilir ,θ = olarak alınıyor.eğrinin uzunluğu t dir, eğrilik,

\kappa

olarak ifade edilebilir: :

\kappa = \tfrac  = \tfrac  = 2t

Ve eğriliğin değişim oranı ile birlikte eğrinin uzunluğu: :

\tfrac  = 2

Euler spirali

nin bir özelliği eğriliğidir.Herhangi bir noktanın orijinden ölçümü spiral boyunca mesafeyle orantılıdır. Bu özellik kullanılarak Karayolu ve demiryolu mühendisliğinde geçiş eğrisi kullanılır. bir araç birim hızda spiral takip ediyorsa yukardaki türev içinde aynı zamanda zamanı temsil eder.Bu aracın spiralde izleyeceği yol sabit hız sabit bir oranda açısal hız olacak.

Euler spirali

bölümünden yapan adına "clothoid döngüsü olarak" roller-coaster döngüsü şeklinde bilinir Özellikleri * x ın fonksiyonu C(x) ve S(x) Tek fonksiyon'dur . * C ve S Tam fonksiyondur. * Kuvvet serisi açılımı kullanılarak,karmaşık sayı boyutuna genişletilebilir, ve kompleks değişkenlianalitik fonksiyonadını alır.Fresnel integrali hata fonksiyonu'na genişletilebilir: ::

S(x)=\frac} \left( \sqrt\,\operatorname(\sqrt\,x) + \sqrt\,\operatorname(\sqrt\,x) \right)

C(x)=\frac} \left( \sqrt\,\operatorname(\sqrt\,x) + \sqrt\,\operatorname(\sqrt\,x) \right).

*C(x) ve S(x) integrallerinin tanımı terimlerin içinde kapalı form temel fonksiyonu terimleri içinde,özel durumlar dışında geliştirilemez. Bu fonksiyonlar limit'ler x sonsuza giderken bilinebilir: ::

\int_^ \cos t^2\,dt = \int_^ \sin t^2\,dt = \frac} = \sqrt}.

Geliştirme

C ve Sin limiti karmaşık analiz metodu ile açısının eğimi sonsuza giderken bulunabilir. Burada kullanılan fonksiyonun kontür integrali: :

e^t^2}

karmaşık düzlem içindeki sektör-şeklindeki bölge pozitif x-ekseni tarafından , y=x, x ≥ 0,yarı-ekseni ve sınır etrafındaki orijin merkezi R yarıçaplı dairedir . integral boyunca R sonsuza giderken, dairesel yay eğimi 0'dır, Gauss integrali'nin gerçel-eksen boyunca integral eğimi :

\int_^ e^t^2}dt =  \sqrt},

ve sonrası rutin dönüşümleri,integral boyunca ilk çeyrek açıortayı Fresnel integralinin limiti ile ilişkili olabilir.

Genelleme

Fresnel integrali aşağıdaki fonksiyon tarafından genelleştirilebilir.

\int_0^\infty\sin(x^a)\ dx = \frac\right)\sin(\frac)}

bununla birlikte sol-yanda a>1 için yakınsak ve sağ-yanda tüm düzlemin

\Gamma(a^)

'nın yalancı kutuplarının analitik uzantıları daha az olacaktır Ayrıca bakınız * Augustin-Jean Fresnel * Fresnel bölgesi * Tam geçiş eğrisi *

Euler spirali

* Bölge yüzeyi * * * R. Nave, The Cornu spiral, Hyperphysics (2002) (Uses πt²/2 instead of t².) * Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 7) *

Kaynaklar

Vikipedi

Fresnel Integrali

Euler spirali

Euler spirali

Euler spirali

Euler spirali

Geliştirme

Genelleme

Euler spirali

Kaynaklar

Fresnel kırınımı

Fresnel sayısı

Augustine Jean Fresnel

Matematiksel fonksiyonların listesi

Euler spirali

Fraunhofer kırınımı

Dalga-parçacık İkiliği

Çift yarık deneyi

Fresnel Integrali

Fresnel Integrali Hakkında Detaylı Bilgi

Euler spirali

Euler spirali

Euler spirali

Euler spirali

Geliştirme

Genelleme

Euler spirali

Kaynaklar

Görüşler ve Yorumlar

Okuma Önerileri

Fresnel kırınımı

Fresnel sayısı

Augustine Jean Fresnel

Matematiksel fonksiyonların listesi

Euler spirali

Fraunhofer kırınımı

Dalga-parçacık İkiliği

Çift yarık deneyi