Türkçe Bilgi logo TürkçeBilgi

Poisson Denklemi

Kısaca: Poisson denklemi elektrostatik, makine mühendisliği ve teorik fizik'de geniş kullanım alanına sahip eliptik türdeki Kısmi diferansiyel denklemlerdir. Fransız matematikçi, geometrici ve fizikçi olan Siméon-Denis Poisson'dan sonra isimlendirilmiştir. ...devamı ☟

Poisson denklemi elektrostatik, makine mühendisliği ve teorik fizik'de geniş kullanım alanına sahip eliptik türdeki Kısmi diferansiyel denklemlerdir. Fransız matematikçi, geometrici ve fizikçi olan Siméon-Denis Poisson'dan sonra isimlendirilmiştir. Poisson denklemi :\Delta\varphi=f Burada \Delta Laplasyene, ve f ve φ ise Çokkatlıda gerçek or Karmaşık-değerli fonksiyonlar karşılık gelmektedir. Çokkatlı öklit uzayı olduğu zaman, Laplasyen ^2 olarak belirtilir ve Poisson denklemi genel olarak :^2 \varphi = f. şeklinde yazılır. 3 boyutlu Kartezyen koordinat sisteminde : \left( \frac + \frac + \frac \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z). formunu alır. f sıfır olduğunda denklem; :\Delta \varphi = 0. \! halini alır. Bu poisson denklemi Green Fonksiyonu kullanılarak çözülebilir; Green Fonksiyonunun Poisson denklemi için genel çözümünü Sönümlü Poisson denklemi başlığında verilmiştir. Numerik çözüm için çok fazla değişik türden method bulunmaktadır; rahatlatma metodu, yinelemeli algoritma sadece bir örnek... Elektrostatik Elektrostatiğin köşe taşlarından biri de Poisson denklemleri ile açıklanan problemlerin çözümünü ortaya atıp çözmektir . Verilmiş bir yük dağılımı için Elektriksel gerilimi bulmak için genelde kullandığımız yol bu olduğu için, φ'ı verilmiş f cinsinden bulmak önemli pratik bir sorundur.

Elektrostatik

teki Poisson denkleminin türeyişi şu şekildedir. Uluslararası Birimler Sisteminin öklit uzayında kullanıldığını varsayarsak. Differansiyel kontrol hacimdeki elektrik için Gauss Yasası ile başlarsak: :\mathbf \cdot \mathbf = \rho_f ::\mathbf \cdot, Diverjansa ::\mathbf, elektrik deplasman alanına ::\rho_f \, serbest yükün yük yoğunluğuna (yani dışardan getirilmiş yüklere) tekamül etmektedir. Ortamın lineer, izotropik, ve homojen olduğunu kabul edersek; :\mathbf = \varepsilon \mathbf ::\varepsilon permittivity of the medium. ::\mathbf is the electric field. Yerine koyma ve sadeleştirme işlemlerinden sonra; :\mathbf \cdot \mathbf = \frac elde ederiz. Değişken bir manyetik alan, \mathbf olmadığı zaman, Faraday-Lenz yasası gereğince, :\nabla \times \mathbf = -\dfrac} = 0 ::\nabla \times,Rotasyonele ::t zamana karşılık gelmektedir. Elektrik Alanın Rotasyaneli sıfır olduğundan,o bir skaler elektrik potansiyel birler elektrik potansiyel olarak tanımlanır. :\mathbf = -\nabla \varphi \mathbf yi yerine koyma metodu ile yok edersek, Poisson denkleminin bir formunu elde ederiz: :\nabla \cdot \nabla \varphi = ^2 \varphi = -\frac. Potansiyel için Poisson denklemini çözmek yük yoğunluğu dağılımının bilinmesini gerektirir. Eğer yük yoğunluğu sıfır ise denklem Laplace denklemine dönüşür. Eğerki yük yoğunuğu Boltzmann dağılımına tekamül ederse denklem Poisson-Boltzman denklemi halini alır. Poisson Boltzmann denklemi Debye-Hückel denkleminin gelişmesinde büyük rol oynar. (Not: Yukardaki tartışma manyetik alanın zamanla değişmediğini kabullenim olarak alsa da aynı Coulomb ölçümlemesi kullanıldığı sürece zamanla gerçekten bir değişim olsa bile Poisson denklemi ortaya çıkar. Yalnız, genel bağlamda \varphi hesaplamak artık \mathbf yi hesaplamak için yeterli değildir, çünkü ikincisi aynı zamanda manyetik vektör potansiyeline bağlıdır, ki bu da bağımsız olarak hesaplanmalıdır.)

Gauss yük yoğunluğunun potansiyeli

Eğerki durgun küresel simetrik bir Gauss yük yoğunluğu \rho_f(r) var ise: : \rho_f(r) = \frac^3}\,e^, burada Q toplam yüktür. Dolayısıyla Poisson denkleminin çözümü φ (r), :^2 \varphi = - , burada \varphi(r) şöyle gösterilir; : \varphi(r) = \frac\,\mbox\left(\frac\sigma}\right) ki burada erf(x) hata fonksiyonuna tekamül etmektedir. Bu çözüm bariz bir biçimde ^2 \varphiyi hesaplayarak kontrol edilebilir. Dikkate alınmalı ki, tahmin edildiği şekilde σ den çok büyük bir r için erf fonksiyonu 1e ve potansiyel noktasal yük potansiyeli φ (r), e yaklaşmaktadır. Ayrıyetten, erf fonksiyonu kendi argümanı arttıkça 1 e çok hızlı şekilde yaklaşmaktadır; pratikte r > 3σ için göreli hata binde birden küçüktür. Ayrıca bakınız * Discrete Poisson equation * Poisson–Boltzmann equation * Uniqueness theorem for Poisson's equation Kaynakça
* Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations. * L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2 * A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
Dış bağlantılar * Poisson's equation on PlanetMath. * Poisson's Equation for a Point Source in the COMSOL Multiphysics model gallery.

Kaynaklar

Vikipedi

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.

Sönümlü poisson denklemi
7 yıl önce

(f=0), sönümlü Poisson denklemi, zamandan bağımsız Klein-Gordon denklemi ile aynıdır. İnhomojen durumda ise sönümlü Poisson denklemi, İnhomojen Helmholtz...
Poisson-Boltzmann denklemi
7 yıl önce

Poisson-Boltzmann denklemi elektrolitler içindeki moleküller arasındaki elektrostatik etkileşimleri açıklayan diferansiyel denklemlere denir. Bu denklem...
Laplace denklemi
3 yıl önce

y, z), yani, Eğer böyle bir denklem Δ f = h {\displaystyle \Delta f=h} ise "Poisson denklemi" denir. Laplace denklemi ayrıca Helmholtz denkleminin özel...
Poisson dağılımı
3 yıl önce

problemlere de) başarı ile uygulanabilir. Poisson dağılımı Poisson süreci ile birlikte ortaya çıkar. Poisson süreci aralıklı karakterde olan (yani 0, 1...

Poisson dağılımı, Olasılık Dağılımları, İstatistik, Planetmath reference, 1781, 1840, Aralıklı olasılık dağılımı, Basıklık, Beklenen değer, Benford`un savı, Bernoulli dağılımı
Elektrostatik
3 yıl önce

{\displaystyle {\varepsilon _{0}}} vakum geçirgenliğidir ve bu denklem poisson denklemi formundadır. Eşleşmemiş elektriksel yük bulunmadığı durumda (yani...

Elektrik yükü, 1600, Atom, Elektromanyetik, Elektromanyetik kuvvet, Elektron, Proton, William Gilbert, Elektromanyetik alan
Torricelli denklemi
7 yıl önce

Toricelli denklemi ya da zamansız hız denklemi İtalyan bilim insanı Evangelista Torricelli tarafından ortaya konulan bir klasik mekanik denklemidir. İvmeli...

Torricelli denklemi, Evangelista Torricelli, Klasik mekanik, Taslak, Zaman, İtalyan
Einstein tensörü
3 yıl önce

denklemleri üç koşulları karşılayan tek denklem değildir:  1. Benzerler ama genelleme Newton-Poisson denklemi yerçekimi için 2. Koordinat sistemleri tümü...
Harmonik fonksiyon
3 yıl önce

jeodeziyse harmonik gönderimdir. Dirichlet problemi Isı denklemi Laplace denklemi Poisson denklemi Dörtlük bölgeler Altharmonik fonksiyon L.C. Evans, 1998...