Liouville Teoremi (Karmaşık Analiz)

Kısaca: Karmaşık analizde, Joseph Liouville'in ismine atfedilen Liouville teoremi, sınırlı her tam fonksiyonun sabit olmak zorunda olduğunu ifade eder. Yani, C 'deki her z için |f(z)| ≤ M olan pozitif bir M varsa ve f holomorfsa, f sabittir. ...devamı ☟

Karmaşık analizde, Joseph Liouville'in ismine atfedilen Liouville teoremi, sınırlı her tam fonksiyonun sabit olmak zorunda olduğunu ifade eder. Yani, C 'deki her z için |f(z)| a‰¤ M olan pozitif bir M varsa ve f holomorfikse, f sabittir. Teorem, büyük ölçüde, en az iki karmaşık sayıyı almayan her tam fonksiyonun sabit olacağını söyleyen Picard'ın küçük teoremi ile iyileştirilmiştir. Kanıt Teorem, "holomorfik fonksiyonlar analitiktir" gerçeğinden elde edilir. f, tam olduğu için, 0 etrafında Taylor serisi ile temsil edilebilir; yani : f(z) = \sum_^\infty a_k z^k. Buradaki a_k terimi ise (Cauchy integral formülü yardımıyla) : a_k = \frac} = \oint_ }\,d\zeta olarak yazılır (Cr, 0 merkezli, r yarıçaplı bir çemberdir.) Doğrudan : | a_k | \leq \frac \oint_ \frac |} \,d\zeta \leq \frac \oint_ \frac } \,d\zeta \leq \frac, tahmini yapılabilir (İkinci eşitsizlikte varsayımdaki her z için |f(z)| a‰¤ M eşitsizliği kullanılmıştır). Yol integralinde kullanılan r sayısının seçimi ise keyfidir. Bu yüzden, r sonsuza götürülürse, her k a‰¥ 1 için ak = 0 elde edilir. Böylelikle, f(z) = a0 olur ve teorem kanıtlanmış olur. == Sonuçlar Cebirin temel teoremi

Cebirin temel teoremi

nin
Liouville teoremine dayanan kısa bir kanıtı vardır.

Hiçbir tam fonksiyon bir diğer tam fonksiyona baskınlık kuramaz

Teoremin bir sonucu da "gerçekte farklı" fonksiyonların birbirine baskınlık kuramayacağıdır, yani f ve g tamsa ve her yerde |f| a‰¤ |g| ise , o zaman bir α sayısı için f = α.g olur. Bunu göstermek içinse :h = \frac\cdot fonksiyonunu ele alalım. h 'nin tam bir fonksiyona uzatılabilmesi yetecektir ve böylece Liouville teoremi sonucu verecektir. h 'nin holomorfik olması g-1(0) haricindeki noktalarda açıktır. Şimdi g(a) = 0 ise f(a) = 0 ifadesi de vardır. Analitiklik sayesinde, h sürekli, ve bu yüzden de holomorfik, olarak a üzerine uzatılabilir. Bu yüzden, h, g-1(0) üzerinde tam bir fonksiyona uzatılabilir.

Sabit olmayan eliptik fonksiyonlar C 'de tanımlanamaz

Teorem aynı zamanda sabit olmayan eliptik bir f fonksiyonunun tanım kümesinin C 'de olamayacağını göstermekte de kullanılabilir. Olduğunu varsayalım. O zaman, a ve b, f 'nin a/b gerçel olmayacak şekilde iki periyodu ise, köşeleri 0, a, b ve a + b olan P paralelkenarını ele alalım. O zaman, f 'nin görüntüsü f(P) 'ye eşit olacaktır. f sürekli olduğu ve P tıkız olduğu için, f(P) de tıkız olacaktır ve bu yüzden sınırlı olacaktır. Böylece, f sabit olacaktır. "

Sabit olmayan eliptik fonksiyonlar C 'de tanımlanamaz

" gerçeği aslında Liouville'in 1847'de eliptik fonksiyonlar kuramını kullanarak kanıtladığı ifadedir. Joseph Liouville, Leçons sur les fonctions doublement píériodiques, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, C. 88, sf. 277-310, 1879, ISSN 0075-4102 Aslında Liouville teoremini kanıtlayan Cauchy'dir. Augustin Louis Cauchy, Å’uvres complí¨tes d'Augustin Cauchy, Míémoires sur les fonctions complíémentaires, Seri 1, C. 8, Gauthiers-Villars, Paris, 1884.

Tam fonksiyonların yoğun görüntüleri vardır

f sabit olmayan tam bir fonksiyonsa, o zaman görüntüsü C içinde yoğundur. Bu ifade Liouville teoreminden daha güçlü bir sonuç olarak güzükse de aslında teoremin kolay bir sonucudur. f 'nin görüntüsü yoğun olmasaydı, o zaman bir w karmaşık sayısı ve r > 0 gerçel sayısı olurdu öyle ki w merkezli, r yarıçaplı açık disk, f 'nin görüntüsünden bir eleman içermezdi. g(z) = 1/(f(z) - w) fonksiyonunu tanımlayalım. :(\forall z\in\mathbb):|g(z)|=\frac1<\frac1r olduğu için, g sınırlı, tam bir fonksiyon olurdu. Böylece, g sabit olurdu. Ancak, bu saçma olur. Bu yüzden, f 'nin görüntüsü yoğundur. == Notlar == aˆª C , C 'nin bir nokta tıkızlaştırılması olsun. C 'deki bölgelerde tanımlı holomorfik fonksiyonlar yerine, aˆª C içindeki bölgeler düşünülebilir. Bu şekilde görüldüğünde, C aŠ‚ aˆª C 'de tanımlı tam fonksiyonlar için olası tek tekillik aˆž noktasıdır. f, aˆž'un bir komşuluğunda sınırlı ise, o zaman aˆž, f 'nin kaldırılabilir tekilliğidir; yani f, aˆž'da birden patlayamaz veya hatalı davranamaz. Kuvvet serileri açılımı bağlamında, Liouville teoreminin tutması pek de sürpriz değildir. Benzer bir şekilde, tam bir fonksiyonun aˆž'da kutup noktaları varsa, yani aˆž'un açık bir aralığında zn gibi patlıyorsa, o zaman f polinomdur. Liouville teoreminin bu uzatılmış versiyonu daha kesin bir dille ifade edilebilir: Yeteri kadar büyük z ler için |f(z)| a‰¤ M.|zn| ise, o zaman f, derecesi en fazla n olan bir polinomdur. Bu, şu şekilde kanıtlanabilir. Yine, f 'nin Taylor serisini ele alalım: : f(z) = \sum_^\infty a_k z^k. Teoremin kanıtında kullanılan tartışma :(\forall k\in\mathbb):|a_k|\leqslant Mr^ eşitsizliğini verir. Böylece, k > n ise :|a_k|\leqslant\lim_Mr^=0 olur. Bu yüzden, ak = 0 elde edilir.

Kaynakça

}

Kaynaklar

Vikipedi

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.

Karmaşık Analiz Konuları Listesi
6 yıl önce

Kalıntı teoremi Liouville teoremi (karmaşık analiz) Kontür integrali örnekleri Cebirin temel teoremi Basit bağlantılı Dolanım sayısı Rouché teoremi Bromwich...

Karmaşık analiz
3 yıl önce

kullanılırlar. Tüm karmaşık düzlemde holomorf olan sınırlı bir fonksiyon sabit olmalıdır. Bu ifade Liouville teoremi olarak bilinir. Bu teorem karmaşık sayılar cisminin...

Picard teoremi
3 yıl önce

hakkındaki teoremi görmek için Picard varlık teoremine bakınız. Karmaşık analizde Charles Émile Picard'ın ismine atfedilen Picard teoremi (Pikar teoremi olarak...

Tam fonksiyon
3 yıl önce

polinomdur. Liouville teoremi Cebirin temel teoremi'nin şık bir kanıtı için de kullanılabilir. Picard'ın küçük teoremi, Liouville teoreminin epeyce güçlendirilmiş...

Cebirin Temel Teoremi
3 yıl önce

teoremi karmaşık değişkenli polinomların köklerinin varlığıyla ilgili temel bir sonuçtur. D'Alembert-Gauss teoremi olarak da anılmaktadır. Teoremin açık...

Cebirin Temel Teoremi, Karmaşık sayılar, Matematik, Polinom, Taslak
Harmonik fonksiyon
3 yıl önce

bir şekilde Rn 'de tanımlı ise, o zaman f sabittir (Karmaşık değişkenli fonksiyonların Liouville teoremiyle karşılaştırınız). Harmonik fonksiyonların...

Fourier serisi
3 yıl önce

Matematiksel fonksiyonların listesi ATS teoremi Dirichlet çekirdeği Ayrık Fourier dönüşümü Hızlı Fourier dönüşümü Fejér teoremi Fourier sin ve cos serisi Gibbs...

Küresel harmonikler
3 yıl önce

denklemin sınır noktalarında Θ çözümü bu düzenlilik uyarlaması ile bir Sturm–Liouville problemi λ parametresinin kuvveti m λ = ℓ(ℓ+1) formunda olan bazı negatif...