Türkçe Bilgi: Cauchy integral formülü

Cauchy integral formülü karmaşık analizde merkezi bir ifadedir. Bir disk üzerinde tanımlanmış holomorf bir fonksiyonun tamamen, fonksiyonun disk sınırındaki değerleri tarafından belirlendiğini ifade eder. Ayrıca, holomorf bir fonksiyonun tüm türevleri için formül elde etmekte de kullanılabilir. Cauchy formülünün analitik önemi karmaşık analizde "türev alma integral almaya denktir" ifade etmesidir: Bu yüzden karmaşık türevlilik, integral alma gibi, gerçel analizde olmayan düzgün limitler altında iyi davranma özelliğine sahiptir. Teorem U, karmaşık düzlem C 'nin açık bir altkümesi olsun, f : U → C holomorf bir fonksiyon olsun ve D = kapalı diski tamamen U 'nun içinde yer alsın. C kapalı diskin sınırını oluşturan çember olsun. O zaman, D 'nin içindeki her a noktasında kontür integralinin saat yönünün tersine alındığı :

f(a) =  \oint_C \, dz

ifadesi doğru olur. Bu ifadenin kanıtı Cauchy integral teoremini kullanır ve benzer bir şekilde sadece f 'nin karmaşık türevliliğini gerektirir. Cauchy integral formülünde integrali alınan ifadenin paydasının (a - z₀) değişkeninde kuvvet serisi açılabildiği için, holomorf fonksiyonlar analitiktir sonucu ortaya çıkar. Özellikle, f aslında :

f^(a) =  \oint_C }\, dz.

ile sonsuz kere türevlenebilirdir. Bu formüle bazen, Cauchy türev formülü de denilmektedir. C çemberi a etrafında dolanım sayısı bir olan U içindeki herhangi bir kapalı doğrultulabilir eğri ile değiştirilebilir. Dahası, f 'nin yol tarafından çevrelenen açık bölgede holomorf olması ve kapanışında sürekli olması yeterlidir. Kanıt taslağı Cauchy integral teoremi kullanılarak, C (veya kapalı doğrultulabilir eğri) üzerinde alına integralin a etrafında alınan herhangi bir küçük çember üzerindeki integralle aynı olacağı gösterilebilir. f(z) sürekli olduğu için f(z) 'nin f(a) 'ya yakın olduğu küçük bir çember seçilebilir. Diğer taraftan, a merkezli herhangi bir C çemberi üzerindeki :

\oint_C  \,dz}

integrali 2πi 'ye eşittir. Bu integral 0 ≤ t ≤ 2π ise ve ε çemberin yarıçapıysa,

z = a + \varepsilon e^

alınarak parametrizasyon yoluyla (Değişken değiştirme) hesaplanabilir. ε → 0 alınarak ise istenilen tahmin :

\left | \frac \oint_C  \,dz} - f(a) \right |

\leq \frac \oint_C \frac  \,dz \rightarrow 0.

elde edilir. Örnek |z| = 2 tarafından tanımlanan kontür (bu kontüre C denilsin) ve :

g(z)=

ele alınsın. g(z) 'nin kontür etrafındaki integralini bulmak için, g(z) 'nin tekilliklerinin bilinmesi gerekir.

z_1=-1+i

z_2=-1-i

ise, g şu şekilde tekrar yazılabilir: :

g(z)=.

Kutupların ne olduğu açıktır, kutupların mutlak değeri 2'den küçüktür ve bu yüzden kontürün içinde yer alırlar ve formülün kullanımına uygundurlar. Cauchy-Goursat teoremi kullanılarak, bu kontür etrafındaki integral z₁ ve z₂ etrafında ayrı ayrı daha küçük çember kontürleri alınarak elde edilen integrallerin toplamı şeklinde yazılabilir. Bu küçük kontürler z₁ ve z₂ için sırasıyla C₁ ve C₂ olsun. C₁ etrafında f analitiktir (çünkü kontür diğer tekilliği içermez) ve bu bir f 'nin :

f(z)=

formunda yazılmasına olanak verir. Şimdi :

\oint_C  = \oint_C \, dz=2\pi i*f(a)

\oint_ \right) \over z-z_1}\,dz=2\pi i.

olur. Diğer kontür etrafında da benzer işlem yapılırsa :

f(z)=,

\oint_ \right) \over z-z_2}\,dz=2\pi i.

elde edilir. O zaman C kontürü etrafındaki orijinal integral bu iki integralin toplamı olur: :

\begin\oint_C \,dz &= \oint_ \right) \over z-z_1}\,dz + \oint_ \right) \over z-z_2}\,dz \\ \\ &= 2\pi i\left(+\right) \\ \\ &=2\pi i(-2) \\ \\ &=-4\pi i.\end

Sonuçlar İntegral formülünün geniş bir uygulama alanı vardır. Birincisi, bir fonksiyon açık bir küme üzerinde holomorfsa, o zaman fonksiyon aynı yerde sonsuz kere türevlenebilirdir. Dahası, analitik bir fonksiyondur yani kuvvet serisi şeklinde temsil edilebilir. Bu ifadenin kanıtı :

f(\zeta) = \frac\int_C \frac\,dz

ifadesinde baskın yakınsaklık teoremini ve geometrik seriyi kullanır. Formül aynı zamanda meromorfik fonksiyonların bir sonucu olan kalıntı teoreminin ve ilişkin bir sonuç olan argüman ilkesinin kanıtında kullanılmaktadır. Morera teoremi sayesinde holomorf fonksiyonların düzgün limitinin de holomorf olduğu bilinmektedir. Bu sonuç Cauchy integral formülünden de çıkarılabilir: Formül limit içinde ve integrali alınan ifade için de geçerlidir ve bu yüzden integral kuvvet serisi olarak açılabilir. Ayrıca, daha yüksek mertebeden türevler için Cauchy formülü bu türevlerin hepsinin düzgün bir şekilde yakınsadığını gösterir. Cauchy integral formülünün gerçel analizdeki analoğu harmonik fonksiyonlar için olan Poisson integral formülüdür. Bu bağlamda, holomorf fonksiyonların özelliklerinin çoğu taşınabilir. Ancak, daha genel türevlenebilir ve gerçel analitik fonksiyonlar sınıfı için artık bunun gibi sonuçlar geçerli değildir. Örneğin, gerçel bir fonksiyonun birinci türevi daha yüksek mertebeden türevlerin varlığını veya fonksiyonun analitikliğini göstermez. Benzer bir şekilde, bir (gerçel) türevlenebilir fonksiyonlar dizisinin düzgün limiti türevlenebilme özelliğine sahip olmayabilir veya türevlenebilir olur ama bu türev dizinin elemanlarının türevlerinin limiti olmayabilir. == Genelleştirmeler Pürüzsüz fonksiyonlar Cauchy integral formülünün bir versiyonu, Stoke teoremine dayandığı için pürüzsüz fonksiyonlar için de geçerlidir. D, C 'de bir disk olsun ve f, D 'nin kapanışında bir sürekli bir şekilde türevlenebilir fonksiyon yani C¹ olan bir fonksiyon olsun. O zaman (Hörmander 1966,

Teorem

1.2.1), :

f(\zeta,\bar) = \frac\int_ \frac)dz} + \frac\iint_D \frac}\frac}

olur. Bu temsil formülü aynı zamanda D içinde, homojen olmayan Cauchy-Riemann denklemlerini çözmek için de kullanılabilir. Aslında, φ, D içinde fonksiyonsa, :

\frac} = \phi(z,\bar)

denkleminin özel bir f çözümü :

f(\zeta,\bar) = \frac\iint_D \phi(z,\bar)\frac}

tarafından verilir. Daha ihtimamlı bir şekilde (Hörmander 1966,

Teorem

1.2.2), μ, C üzerinde bir tıkız desteğin karmaşık (sonlu) ölçümü olursa, o zaman :

f(\zeta,\bar) = \iint \frac

μ 'nün desteği dışında holomorf bir fonksiyon olur. Dahası açık bir D kümesi üzerinde bir φ ∈ C^k(D) (k≥1) için :

d\mu = \frac\phi dz\wedge d\bar

olursa, o zaman

f(\zeta,\bar)

de C^k(D) 'nin içinde yer alır ve :

\frac} = \phi(z,\bar)

denklemini sağlar. İlk sonuç, kısaca, Cauchy çekirdeği denilen :

k(z) = \frac

ile tıkız bir şekilde desteklenen ölçümün μ*k(z) girişimi, μ 'nün desteği dışında holomorf bir fonksiyon olmasıdır. İkinci sonuç ise, Cauchy çekirdeğinin Cauchy-Riemann denklemlerinin temel bir çözümü olduğunu ifade eder.

Çok değişkenler

Çok karmaşık değişkenlerde, Cauchy integral formülü polidisklere genelleştirilebilir (Hörmander 1966,

Teorem

2.2.1). D, n tane açık diskin yani D₁, ..., D_n 'nin kartezyen çarpımı olsun: :

D = \prod_^n D_i.

f, D 'de holomorf ve D 'nin kapanışında sürekli olsun. O zaman, ζ=(ζ₁,...,ζ_n) ∈ D olursa aşağıdaki formül elde edilir: :

f(\zeta) = \frac\int\cdots\iint_ \fracdz_1\dots dz_n.

== Ayrıca bakınız == * Cauchy-Riemann denklemleri * Kontür integrali metodları * Nachbin teoremi * Morera teoremi * Lars Ahlfors, Complex analysis, McGraw Hill, 3üncü baskı, 1979, isbn=978-0070006577. * Lars Hörmander, An introduction to complex analysis in several variables, Van Nostrand, 1966. == Dış bağlantılar == * MathWorld'deki Cauchy İntegral Formülü bilgisi * Cauchy Integral Formulü Modülü, John H. Mathews tarafından

Kaynaklar

Vikipedi

Cauchy Integral Formülü

Teorem

Teorem

Çok değişkenler

Teorem

Kaynaklar

Cauchy integral formülü Resimleri

Cauchy integral teoremi

Çizgi integrali

Kontür integrali yöntemleri

Türev (anlam ayrımı)

Karmaşık Analiz Konuları Listesi

Kalıntı teoremi

Cauchy-Riemann denklemleri

Kalıntı (karmaşık analiz)

Cauchy Integral Formülü

Cauchy Integral Formülü Hakkında Detaylı Bilgi

Teorem

Teorem

Çok değişkenler

Teorem

Kaynaklar

Görüşler ve Yorumlar

Cauchy integral formülü Resimleri

Okuma Önerileri

Cauchy integral teoremi

Çizgi integrali

Kontür integrali yöntemleri

Türev (anlam ayrımı)

Karmaşık Analiz Konuları Listesi

Kalıntı teoremi

Cauchy-Riemann denklemleri

Kalıntı (karmaşık analiz)