``K`` bir cisim olsun ve ``L`` bu cisim üzerine bir vektör uzayı olsun. Ayrıca ``L`` üzerine diye yazacağımız ve ``köşeli parantez işlemi`` diyeceğimiz bir ikili işlem olsun. Bu ikili işlemin şu özellikleri sağladığını varsayalım:
L1) Her ve her için .
L2) Her için .
L3) Her için .
O zaman, ``L`` vektör uzayı bu ikili işlemle bir Lie cebiri olur.
L1, her için işleminin lineer (doğrusal) olduğunu söyler.
Bir Lie cebirinde eşitliği her için geçerlidir. Nitekim, L3`ten dolayı doğru olan eşitliğini açarsak, elde ederiz ve olduğundan dilediğimiz eşitlik kanıtlanır. Demek ki bir Lie cebirinde işlemi değişmeli değildir. Öte yandan eşitliğinden dolayı bir Lie cebiri değişmeli olmaktan pek de uzak değildir.
Bu eşitlik ve L1, bir Lie cebirinde işleminin de lineer olduğunu söyler.
L3 özelliği, köşeli parantez işleminin birleşmeli işlem olmasa da birleşmeli işlem olmaktan çok çok uzak olmadığını söyler. Bu özelliğe Jacobi özelliği adı verilir.
Eğer ``A`` bir cebirse, işlemi ``A`` üzerine bir Lie cebiri yapısı tanımlar. matematik-taslak