Türkçe Bilgi: Laguerre polinomları

Laguerre polinomları, matematik'te adını Edmond Laguerre'den (1834 – 1886) almıştır. Kanonik (benzer) adlandırma Laguerre denklemi'dir: :

x\,y

n	$L_n(x)\,$
0	$1\,$
1	$-x+1\,$
2	$} (x^2-4x+2) \,$
3	$} (-x^3+9x^2-18x+6) \,$
4	$} (x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \,$
5	$} (-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120) \,$
6	$} (x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720) \,$

+ (1 - x)\,y' + n\,y = 0\, İkinci mertebeden bir lineer diferansiyel denklem'dir. Bu denklemin tekil olmayan çözümleri yalnızca n negatif olmayan tamsayı ise vardır. Laguerre polinomlarının sayısal integral hesaplaması için Gaussian dördünü kullanılan formudur : $\int_0^\infty f(x) e^ \, dx.$ L₀,L₁,..., şeklindeki bu polinomları, tanımlayabilmek için Rodrigues formülü tarafından polinomal dizi kullanılmalıdır : $L_n(x)=\frac\frac\left(e^ x^n\right).$ Diğer önemli her bir iç ürün ortogonal polinomlar tarafından verilir. : $\langle f,g \rangle = \int_0^\infty f(x) g(x) e^\,dx.$ Laguerre polinomlarının dizisi bir Sheffer dizisi'dir. Laguerre polinomları kuantum mekaniği'nde tek-elektronlu atomun (Hidrojen atomu) Schrödinger denklemi'nin radyal kısmının çözümlemesinde ortaya çıkar. Laguerre polinomları için Fizikte sıklıkla kullanılan bir tanım , n!, gibi bir faktör tarafından burada kullanılan tanımdır. İlk birkaç polinom İlk birkaç Laguerre polinomları:

n $L_n(x)\,$

0 $1\,$

1 $-x+1\,$

2 $} (x^2-4x+2) \,$

3 $} (-x^3+9x^2-18x+6) \,$

4 $} (x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \,$

5 $} (-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120) \,$

6 $} (x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720) \,$

Tümevarımsal tanım Tümevarımsal olarak 'Laguerre polinomları''nın tanımını yapabiliriz, tanımdaki ilk iki polinom: : $L_0(x) = 1\,$ : $L_1(x) = 1 - x\,$ ve izleyen polinomlar için özyineleme ile k≥1 'i kullanabiliriz: : $L_(x) = \frac \left( (2k + 1 - x)L_k(x) - k L_(x)\right).$ Genelleştirilmiş Laguerre polinomları ortogonal özellikli durumda üstel dağılım rasgele değişken ile olasılık ağırlık fonksiyonu ise; X ile eşdeğer gösterim : $f(x)=\left\ e^ & \mbox\ x>0, \\ 0 & \mbox\ x<0, \end\right.$ buradan : $=0\ \mbox\ n\neq m.$ üstel dağılım sadece gamma dağılımı değildir. önemli Bir polinomal dizi orthogonal olasılık ağırlık fonksiyonunun gama dağılımı için ,α>−1, : $f(x)=\left\ x^\alpha e^/\Gamma(1+\alpha) & \mbox\ x>0, \\ 0 & \mbox\ x<0, \end\right.$ ('Genelleştirilmiş Laguerre polinomu için Rodrigues tanımı ile verilen gama fonksiyonu içeren denklemi görebiliriz): : $L_n^(x)= e^x \over n!} \left(e^ x^\right).$ Bazen 'uyarlanmış Laguerre polinomları' olarak adlandırılır;genelleştirilmiş Laguerre polinomlarının α = 0 durumunda düzenlenmiş polinomları Basit Laguerre polinomları: : $L^_n(x)=L_n(x).$
Genelleştirilmiş Laguerre polinomları
nın özellikleri ve açık örnek * melez hipergeometrik fonksiyon tarafından tanımlanan Laguerre fonksiyonları ve Kummer dönüşümü ** $L_n^(x):= M(-n,\alpha+1,x)= \sum_ (-1)^i \fracx^i\,$ $= e^x\cdot M(\alpha+n+1,\alpha+1,-x)$ $=\fracL_^(-x)$ $=e^x\cdot\sum_(-1)^i \frac.$ ** Eğer $n$ bir tamsayı ise the function reduces to bir polinomun derecesi $n$ . alternaif bir ifade $L_n^(x)= \frac U(-n,\alpha+1,x)$ içindeki Kummer fonksiyonu'nun ikinci türü terimleridir . * Genelleştirilmiş Laguerre polinomunun derecesi $n$ ise $L_n^ (x) = \sum_^n (-1)^i \frac$ ( diferansiyasyon için Leibniz teoremi tarafından uygulanan Rodrigues' formülü ile eşdeğer eldesi.) ** İlk birkaç genelleştirilmiş Laguerre polinomları: : $L_0^ (x) = 1$ : $L_1^(x) = -x + \alpha +1$ : $L_2^(x) = \frac - (\alpha + 2)x + \frac$ : $L_3^(x) = \frac + \frac - \frac + \frac$ ** ilk terimleri is (−1)n/n! katsayı'sıdır; ** $L_n^(0)= \approx \frac;$ merkezindeki değer sabit terim'dir. * hesaplamada kullanılan genelleştirilmiş Laguerre polinomları için açık formülü Horner metodu sağlar, bunula beraber, algoritma sonuçları kararlı' değildir. izlenen kararlı metod: 'function LaguerreL(n, alpha, x) return' LaguerreL; } * Ln⁽α) ile n gerçel,kökler kesinlikle pozitif (burada $\left((-1)^ L_^\right)_^n$ bir Sturm zinciri'dir), bütün $(0, n+\alpha+ (n-1) \sqrt]$ aralık'ı içindedir . * $n$ 'in büyük değerleri için polinomun asimptotik davranışı $\alpha$ sabit ve $x>0$ , verilirse, : $L_n^(x) \approx \frac-\frac}}} \frac}}+\frac}} \cos\left(2 \sqrt\right)}- \frac\left(\alpha+\frac \right) \right)$ , and : $L_n^(-x) \approx \frac-\frac}}} \frac}}+\frac}} \exp\left(2 \sqrt\right)} \right)$ .. Kaynaklar * Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), " Chapter 22", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4 . * B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 10 deals with Laguerre polynomials. * Eric W. Weisstein, " Laguerre Polynomial", From MathWorld – A Wolfram Web Resource. * * S. S. Bayin (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 3.
Kaynaklar
Vikipedi

Laguerre Polinomları

Genelleştirilmiş Laguerre polinomları

Kaynaklar

Özel fonksiyonlar

Rodrigues formülü

Matematiksel fonksiyonların listesi

Lazer

Kök bulma algoritması

Gama fonksiyonu

İstatistiksel terimler, kavramlar ve konular listesi