Türkçe Bilgi logo TürkçeBilgi

Klein-Beltrami Modeli

Kısaca: Geometride, izdüşüm modeli olarak da adlandırılan Klein Modeli, (Beltrami-Klein modeli, Klein-Beltrami modeli ve Cayley-Klein modeli) geometrisindeki noktalar n-boyutlu bir küreye -ya da daireye- hapsolmuş ve geometrisindeki doğrular bu kürenin -ya da dairenin - içinde doğru parçaları olan (öyle ki bu doğru parçalarının bitiş noktaları bahsi geçen kürenin -ya da dairenin- sınır çizgilerini oluşturur) n-boyutlu hiperbolik geometrinin bir modelidir. Poincarí© yarı-düzlem ...devamı ☟

Geometride, izdüşüm modeli olarak da adlandırılan Klein Modeli, (Beltrami-Klein modeli, Klein-Beltrami modeli ve Cayley-Klein modeli) geometrisindeki noktalar n-boyutlu bir küreye -ya da daireye- hapsolmuş ve geometrisindeki doğrular bu kürenin -ya da dairenin - içinde doğru parçaları olan (öyle ki bu doğru parçalarının bitiş noktaları bahsi geçen kürenin -ya da dairenin- sınır çizgilerini oluşturur) n-boyutlu hiperbolik geometrinin bir modelidir. Poincarí© yarı-düzlem modeli ve Poincarí© daire modeli`nde olduğu gibi, Klein-Beltrami modeli de ilk kez, bu modelleri hiperbolik geometrinin Öklid Geometrisi ile eşit derecede tutarlı olduğunu ispatlamak için kullanan Eugenio Beltrami tarafından ortaya atılmıştır. Uzaklık fonksiyonu ilk kez Arthur Cayley tarafından ortaya atılmış ve Felix Klein tarafından hiperbolik geometride geometrik açıdan kaleme alınmıştır.

Hiperboloit Modeli ile bağlantısı

Hiperboloit model, Minkowski uzayında hiperbolik geometrinin bir modelidir. Farzedelim x_1, \cdots, x_n reel (n+1)-uzayında bir vektör olsun. ikinci dereceden Minkowski formunu şöyle tanımlarız:
Q( x_1, \cdots, x_n) = x_0^2 - x_1^2 - \cdots - x_n^2.
İkinci dereceden Minkowski formu Q için öyle bir bilineer -ikilidoğrusal- B formu bulabilirim ki,
B(u, v) = (Q(u+v)-Q(u)-Q(v))/2.
olarak tanımlansınır. Eğer
u = x_1, \cdots, x_n, v = y_1, \cdots, y_n
ise bunu
B(u, v) = x_0 y_0-x_1 y_1 - \cdots - x_n y_n =
x_0 y_0 - \mathbf \cdot \mathbf. şeklinde yazabiliriz. Ve bunu Minkowski izdüşüm uzayıın belli noktalarına (burada bu noktaları merkezden noktaya çizilmiş ışınlar olarak düşünelim) bir hiperbolik metrik koymakta kullanabiliriz. (Bir u vektörü için şunu söyleyebiliriz: Q(u)>0.) Eğer u ve v bu şekilde oluşturulmuş iki vektörse, bu iki vektör arası uzaklığı
d(u, v) = \operatorname(\frac{\sqrt{Q(u)Q(v)).
olarak tanımlarız. Bu homojen bir fonksiyondur, dolayısıyla noktaların izdüşümleri arasındaki uzaklığı tanımlar. Hiperboloit modelini de Klein modelini de bu izdüşümsel noktaları normalize ederek elde edebiliriz. Eğer u ve v doğrularını birinci koordinatı pozitif yapmak için gerekiyorsa işaret değiştirerek ve u ve vyi u` = \frac{\sqrt{Q(v)yu elde edecek şekilde bölerek normalize edersek, (böylece noktalar Q(u`) = Q(v`) = 1 eşitiğini sağlayacak), hyperboloid modeli elde ederiz. Eğer u ve vyi normalize etmek yerine ilk koordinatlarına bölersek (Q(u) ve Q(v) sıfırdan büyük olduğundan, sonuç da sıfırdan büyük olacaktır.) izdüşümsel düzlemin noktaları birim dairenin iç kısmında kalan bir alt kümesini elde ederiz. Bunu merkezden geçen t=1 hiper yüzeyli doğruların kesişimi olarak da düşünebiliriz.

Kaynaklar

Vikipedi

İlgili konular

geometri hiperboloit model felix klein arthur cayley minkowski uzayı i̇kinci dereceden minkowski formu hyperboloid model i̇zdüşümsel uzay eugenio beltrami í–klid geometrisi

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.