Türkçe Bilgi: İntegral testi

Matematikte integral testi veya bir diğer deyişle yakınsaklık için integral testi, terimleri negatif olmayan sonsuz serilerin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir. Bu testin erken bir versiyonu 14üncü yüzyılda Hint matematikçi Madhava ve takipçileri tarafından bulunmuştur. Avrupa'da ise Maclaurin ve Cauchy tarafından geliştirilmiş olup aynı zamanda Maclaurin-Cauchy testi olarak da bilinir. Testin ifadesi Bir N tamsayısını ve sınırsız [N, ∞) aralığında tanımlı monoton azalan bir f fonksiyonunu ele alalım. O zaman, :

\sum_^\infty f(n)

serisi ancak ve ancak :

\int_N^\infty f(x)\,dx

integrali sonlu ise, yakınsaktır. Özelde, integral ıraksar ise, o zaman seri de ıraksar. İspat Kanıt basit bir şekilde f(n) terimini f 'nin [n aˆ’ 1, n] ve [n, n + 1] aralıkları üzerindeki integralleriyle karşılaştırarak, karşılaştırma testini kullanmaktadır f, monoton azalan bir fonksiyon olduğu için, :

f(x)\le f(n)\quad\text x\in

ve :

f(n)\le f(x)\quad\text x\in[N,n,

olduğunu biliyoruz. Bu yüzden, N 'den büyük n için, :

\int_n^ f(x)\,dx \le\int_^ f(n)\,dx =f(n) =\int_^ f(n)\,dx \le\int_^n f(x)\,dx.

Alt tahmin de aynı zamanda f(N) için geçerli olduğu için, N 'den belli bir M (M, N 'den büyüktür) tamsayısına kadar n üzerinden toplamlarla :

\int_N^f(x)\,dx\le\sum_^Mf(n)\le f(N)+\int_N^M f(x)\,dx

elde ederiz. M sonsuza giderse, sonucu elde ederiz. Uygulamalar Harmonik seri :

\sum_^\infty \frac1n

ıraksar çünkü doğal logaritmayı, türevini ve hesabın temel teoremini kullanarak :

\int_1^M\frac1x\,dx=\ln x\Bigr|_1^M=\ln M\to\infty \text \quad M\to\infty \quad\text.

elde edilir. Tersine, :

\sum_^\infty \frac1}

serisi (Riemann zeta fonkisyonu ile karşılaştırınız) her Îµ > 0 için ıraksar çünkü :

\int_1^M\frac1}\,dx =-\frac1\biggr|_1^M= \frac1\varepsilon\Bigl(1-\frac1\Bigr) \le\frac1\varepsilon\text\quad \forall M\ge1.

Yakınsaklık ve ıraksaklık arasındaki sınır çizgisi Yukarıdaki harmonik serileri de içeren örnekler şu soruyu beraberinde getirir: Terimleri f(n) olan ve 1/n 'den daha hızlı bir şekilde 0'a doğru azalan; ancak, 1/n^1+Îµ 'dan her Îµ > 0 için :

\lim_\frac=0 \quad\text\quad \lim_\frac}=\infty

bağlamında 0'a doğru daha yavaş azalan monoton bir seri var mı ve bu seri yine de ıraksar mı? Böyle bir seri bulunur bulunmaz, aynı soru 1/n 'nin yerini almış f(n) ile de sorulabilir vs. Bu yolla, ıraksaklık ve yakınsaklık arasındaki sınır çizgisini araştırmak mümkündür. İntegral testini kullanarak, her k doğal sayısı için :

\sum_^\infty\frac1(n)\ln_k(n)}

serisinin hala ıraksadığı gösterilebilir (k = 1 için, asalların terslerinin toplamı ıraksar ile karşılaştırınız.); ancak :

\sum_^\infty\frac1(n)(\ln_k(n))^}

serisi her Îµ > 0 için yakınsar. Burada, ln_k doğal logaritmanın arka arkaya k kere bileşkesinin alınmasını göstermektedir: :

\ln_k(x)= \begin \ln(x)&\textk=1,\\ \ln(\ln_(x))&\textk\ge2. \end

Dahası, N_k bu k bileşkenin iyi tanımlı olduğu ve ln_k N_k a‰¥ 1 eşitsizliğini sağlayan en küçük doğal sayıyı gösterir; yani :

N_k\ge \underbrace}}}}_\ e}=e \uparrow\uparrow k .

İlk serinin ıraksaklığını integral testi ile görmek için, zincir kuralının arka arkaya kullanımının :

\frac\ln_(x) =\frac\ln(\ln_k(x)) =\frac1\frac\ln_k(x) =\cdots =\frac1,

verdiğini görmemiz gerekir. Bu yüzden :

\int_^\infty\frac =\ln_(x)\bigr|_^\infty=\infty.

İkinci serinin yakınsaklığını görmek için, kuvvet serisi, zincir kuralı ve yukarıdaki sonucun :

-\frac\frac1 =\frac1}\frac\ln_k(x) =\cdots =\frac(x)(\ln_k(x))^}

verdiğini görmeliyiz. Bu yüzden, :

\int_^\infty\frac(x)(\ln_k(x))^} =-\frac1\biggr|_^\infty<\infty

olur.

Kaynaklar

Vikipedi

İntegral Testi

Kaynaklar

Terim testi

Harmonik seriler

Niels Henrik Abel

Cauchy yoğunlaşma testi

Luigi Tenco

ScientificPython

İstatistiksel terimler, kavramlar ve konular listesi

Karl Weierstrass

İntegral Testi

İntegral Testi Hakkında Detaylı Bilgi

Kaynaklar

Görüşler ve Yorumlar

Okuma Önerileri

Terim testi

Harmonik seriler

Niels Henrik Abel

Cauchy yoğunlaşma testi

Luigi Tenco

ScientificPython

İstatistiksel terimler, kavramlar ve konular listesi

Karl Weierstrass