Türkçe Bilgi logo TürkçeBilgi

Cebirsel Topoloji

Kısaca: Cebirsel topoloji, topolojik uzayları cebirsel gereç ve yöntemlerle inceleyen matematik dalı. Matematikte bir kümenin üzerine döşenecek yapı, yönelinen matematik dalını belirler. ...devamı ☟

Cebirsel topoloji
Cebirsel Topoloji

Cebirsel topoloji, topolojik uzayları cebirsel gereç ve yöntemlerle inceleyen matematik dalı. Matematikte bir kümenin üzerine döşenecek yapı, yönelinen matematik dalını belirler. Bir ümeye bir ya da birkaç işlem konarak sayılar kuramı ya da cebir yapmaya başlanabilir. Kümenin üzerine bir topoloji koyaraksa topoloji ve geometri yapmaya başlanır. Üzerine topoloji konmuş bir uzayı (örneğin herhangi boyutlu bir Öklit uzayı) incelemek için kimi değişmezler tanımlanır; bunlar aracılığıyla topolojik uzayın özellikleri ayırdedilir. Örneğin tıkızlık, bağlantılılık, sayılabilirlik bu tür değişmezlerdir. Topolojik eşyapısal (birbirlerine homeomorfik) iki uzaydan biri bu değişmeze sahipse diğeri de buna sahip olmalıdır. Yani, eğer iki uzay için ayrı ayrı bakılan bir değişmez aynı değilse, bu iki uzay eşyapısal olmayacaktır. Yukarıda anılan en eski değişmezlerin hemen ardından inşa edilen klasik değişmezler cebirsel olanlardır. İnşa Topolojik uzaylara cebirsel değişmezler inşasında amaç şudur: her bir X uzayı için G(X) olarak gösterilecek bir cebirsel nesne kurulacak. Ayrıca X uzayından Y uzayına sürekli bir f gönderimi, uzaylara karşılık gelen bu yeni cebirsel nesneler arasında cebirsel yapıları gözeten ve f_* olarak gösterilecek gönderimler tarif edecek. Örneğin G(X) bir grup/halka/cisim/modül olarak inşa edilmişse, f_* gönderimi grup/halka/cisim/modül homomorfizması olacak. Üstelik, inşa gereği, bu cebirsel nesneler ve gönderimler şu özellikleri sağlayacak: (1) f:X\rightarrow Y ve g:X\rightarrow Z için (g\circ f)_*=g_*\circ f_*:G(X)\rightarrow G(Z) olacak.
(1') Ya da G'nin cinsine göre (g\circ f)_*=f_*\circ g_*:G(Z) \rightarrow G(X) olacak. (2) br_X:X\rightarrow X birim gönderimine karşılık gelen br_:G(X)\rightarrow G(X), birim gönderim olacak. Topolojik uzaylara karşılık gelen ve bu koşulları sağlayan bir G cebirsel nesnesi icat edilmiş olsun. Eğer f, X'ten Y'ye bir topolojik eşyapıysa, f'nin tersi vardır (g diyelim) ve g de bir eşyapıdır. Dolayısıyla topolojik eşyapının tanımı gereği f\circ g = br_Y ve g\circ f=br_X olur. Yukarıdaki (1) ve (2) koşullarından,
f_*\circ g_* = br_ ve g_*\circ f_* = br_
elde edilir. Birinci eşitlikten f_* örten ikinciden f_* birebir olmak zorunda kalır. Yani f_* bir cebirsel eşyapı olur. Şunu göstermiş olduk: (1) ve (2) sağlandığı sürece eşyapısal topolojik uzayların cebirsel nesneleri (grup, halka vs.) de birbirlerine eşyapısal olacak. Örnekler Burada birkaç cebirsel topolojik değişmez inşası özetlenecek. Temel grup Topolojik uzaylara karşılık gelen en basit cebirsel değişmezdir. Bir X uzayı ve içinde bir x_0 noktasına karşılık, \pi_1(X,x_0) olarak gösterilen bir gruptur. Öncelikle, X uzayında sürekli bir eğri, [1] kapalı aralığından X'e giden sürekli bir gönderimdir. a ve b iki eğri olsun. a ile b'nin ucuca eklenmesiyle oluşan eğriyi a\cdot b olarak gösterelim. x_0 noktasından başlayan ve aynı noktada biten tüm eğrilerin kümesiniyse E ile gösterelim. Eğer herhangi iki eğriyi anlatan gönderimler birbirlerine homotopikse bu iki eğriye denk eğriler diyeceğiz. Gösterilebilir ki bu ilişki E üzerinde gerçekten bir denklik bağıntısıdır. Böylece oluşturulan denklik sınıflarının kümesi üzerinde ucuca ekleme işlemi hala iyi tanımlıdır; yani eğer a eğrisi c'ye b eğrisi de d'ye homotopikse, a\cdot b ile c\cdot d eğrileri de birbirine homotopiktir. Bu denklik sınıflarını eleman olarak ve ucuca eklemeyi de işlem olarak kabul eden cebirsel nesne, gösterilebilir ki bir gruptur. X ve x_0 verildiğinde böylece inşa edilen gruba X'in x_0'daki temel grubu denir ve \pi_1(X,x_0) olarak gösterilir. Örneğin gerçel sayı doğrusunun (R) herhangi bir noktasındaki temel grubu tırışka (aşikar) gruptur; yani tek elemanlı gruptur. Oysa çemberin (S^1) herhangi bir noktasındaki temel grubu (Z,+) grubuna izomorfiktir. Dolayısıyla, R ile S^1 birbirlerine topolojik eşyapısal olamazlar. Bunu daha önceden de biliyorduk; çünkü R kompakt değildir ama S^1 kompakttır. Yukarıdaki örneklerin aksine, \pi_1(X,x_0) genelde değişmeli bir grup değildir. Homoloji grupları

Kohomoloji grupları

Homotopi grupları

Kaynaklar == *} *}

Kaynaklar

Vikipedi

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.

Topoloji
3 yıl önce

ilgilenir. Cebirsel topoloji altdalı, homotopi, homoloji gibi cebirsel-topolojik kuramlar aracılığıyla topolojik uzayları inceler. Türevli topoloji, üzerinde...

Topoloji, Homeomorfizma, Yunanca, Simit, Yüzey
Cebirsel Geometri
3 yıl önce

analiz, topoloji, sayılar kuramı gibi matematiğin diğer dallarıyla yakın ilişkisi vardır. Cebirsel geometrinin ilgilendiği temel nesneler cebirsel varyetelerdir...
Deste (topoloji)
6 yıl önce

Genel doğası ve çok yönlülüğü gereği destelerin topolojide, özellikle cebirsel ve türevli topolojide çeşitli uygulamaları vardır. İlk olarak, şema ya...
Selman Akbulut
3 yıl önce

düşük boyutlu manifoldlar, simplektik topoloji ve G2 manifoldları üzerine çalıştı. Gerçek-cebirsel set topolojisinde, Henry C. King ile her kompakt parçalı-lineer...
Matematik
3 yıl önce

dağılımlarının incelenmesidir. Cebirsel geometri -- Analitik geometri -- Diferansiyel geometri -- Diferansiyel topoloji -- Cebirsel topoloji -- Lineer cebir --Fraktal...

Fermat, Analitik geometri, Analiz, Aritmetiğin Temel Teoremi, Cantor'un Diagonal Yöntemi, Cebirin Temel Teoremi, Dört Renk Teoremi, Eşyapı, Felsefe, Fermat'nın Son Teoremi, Fizik
Topolojik uzaylar
3 yıl önce

Topolojik uzaylar, matematiğin Topoloji dalının başlıca uğraş konularıdır. Bir X kümesi ve bu kümenin alt kümelerinin bir kısmını içeren ve aşağıdaki varsayımları...

Topolojik uzaylar, Reel Sayılar, Topoloji, Öklidci Uzaylar, Temel
Fonksiyon uzayı
3 yıl önce

göz ardı edilebilir). Bu bağlamda, bu topolojiye noktasal yakınsaklık topolojisi adı verilir. Cebirsel topolojide, homotopi kuramının esas çalışma alanı...