Ayrık Olasılık Dağılımları

ayrık rassal değişken olarak bilinir. Bu halde :

\sum_u \Pr(X=u) = 1

olur ve burada u X için bütün mümkün değerler serisini ihtiva eder.

Klasik tanım

Olasılık kuramı geliştirilmesinin ilk safhalarında olasılık şans aletleri ile açıklanmakta idi. Şu şans aletleri sayılabilir: havaya atılan bir madeni paranın yazı-tura gelmesi, altı yüzlü bir zar atılması, üstü sektörel parçalara bölünmüş bir döner alet (örneğin rulet tekerleği), iskambil kağıtları, içinde belirli sayıda değişik nesne bulunan küp veya küp benzerleri. Bu halde belirtilmiş bir olay ortaya çıkması için olasılık, her mümkün sonucu eşit olasılıklı olan örneklem uzayında incelenmektedir. Bulardan benzerlik çıkarılarak, olasılık incelenen olaya uygun sonuç sayısının toplam tüm sonuçlar sayısına oranı olarak tanımlanmıştı. Örneğin, incelenecek sorun "tek bir zar atılınca çift sayıların gelme olasılığı nedir" şeklinde olsun. Zar yansız olup her altı yüzü de eşit olasılıkla gelebileceği için, 2, 4, 6 sonuçları 3 tane olduğu ve toplam mümkün sonuç sayısı 6 yüze dayanarak 6 olduğu için, aranan olasılık :P( 2 veya 4 veya 6 ) =

\tfrac=\tfrac

olarak bulunur. Modern tanım Modern tanıma örneklem uzayı adı verilen bir set ile başlanır; bu klasik tanımda kullanılan mümkün tüm sonuçlar seti ile aynı anlamlıdır; ve şu notasyon kullanılarak ifade edilir:

\Omega=\left \

. Sonra,

x \in \Omega\,

içinde bulunan her matematik elemana bir olasılık değeri

f(x)\,

bağlı olduğu varsayılır ve bu olasılık değerinin şu özellikleri bulunduğu kabul edilir: #

\mboxx\in \Omega\,;

\sum_ f(x) = 1\,.

Bu demektir ki olasılık fonksiyonu olan f(x) Ω örneklem uzayında bulunan her x değeri için 0 ile 1 arasında bulunmaktadır ve x için tüm mümkün değerler için f(x) değerlerinin toplamı tama tam 1e eşit olur. Bir olay

\Omega\,

örneklem uzayının herhangi bir

E\,

altseti olarak tanımlanır.

E\,

olayının 'olasılık değeri ise şöyle tanımlanır: :

P(E)=\sum_ f(x)\,.

Buna göre tüm örneklem uzayının olasılığı 1e eşittir ve boş örneklem uzayı veya 0 olay için de olasılık 0a eşit olur. Örneklem uzayındaki bir noktayı "olasılık" değerine eşleyen fonksiyona, yani

f(x)\,

fonksiyonuna, olasılık kütle fonksiyonu adı verilir. Bir olasılık dağılımı eğer bir olasılık kütle fonksiyonu ile karakterize edilmiş ise ayrık dağılım olarak nitelendirilir. Bir X rassal değişkeni için dağılım ayrık ise, o halde X bir ayrık rassal değişken olarak tanımlanır ve Xin bütün mümkün değerler serisini ihtiva eden u için :

\sum_u \Pr(X=u) = 1

olur. Eğer bir rassal değişken aralıklı ise, sıfır-olmayan olasılık taşıyan her değerin seti, bir sonsuz olmayan, veya sayılabilir şekilde sonsuz olan, sayıda bir settir. Bu mümkün değerler seti topolojik olarak ayrık bir settir çünkü set içindeki her nokta tek tekdir; diğerlerinden ayrılmıştır ve bu noktalar sayılabilir. Ayrık dağılımlar arasında en iyi bilinenleri Poisson dağılımı, Bernoulli dağılımı, binom dağılım, geometrik dağılım, negatif binom dağılımıdir. Değişik bir tanımlama Yukarıda verilen tanıma benzer olarak, fakat değişik bir bakışla, bir ayrık rassal değişken için yığmalı dağılım fonksiyonu yalnızca sıçrama devamsızlığı gösterek büyüme gösterir. Bu demektir ki yığmalı dağılım fonksiyonu daha büyük değere sıçrama yaptığı zaman büyüme gösterir ve bu sıçramayı yapmadan sabit kalır. Sıçrama yapılan noktalar aynen rassal değişkenin değer aldığı noktalardır. Bu türlü sıçramalar ya sonludur veye sayılabilir sonsuz olurlar. Bu sıçrama noktalarının konumu topolojik olarak ayrık olmayabilir; örneğin yığmalı olasılık dağılımı her rasyonel sayıda sıçrama gösterebilir. Gösterge fonksiyonları terimleri ile ifade edilme Bir ayrık rassal değişken X için u₀, u₁, ... sıfır olmayan olasılık değerler aldığı varsayılan sayılar olsun. Şu fonksiyon goösterilsin :

\Omega_i=\,\, i=0, 1, 2, \dots

Bunlar kopuk setlerdir ve formül (1) nedeniyle :

\Pr\left(\bigcup_i \Omega_i\right)=\sum_i \Pr(\Omega_i)=\sum_i\Pr(X=u_i)=1.

Bundan çıkarılır ki Xin u₀, u₁, ... dışında alabilecegği herhangi bir değer için olasılık 0 olur. O halde, sıfır olasılıklı değerler setinin dışında X şöyle yazılabilir: :

X=\sum_i \alpha_i 1_

Burada

\alpha_i=\Pr(X=u_i)

1_A

, A için bir gösterge fonksiyonudur. Bu sonuç da ayrık rassal değişkenleri tanımlama için bir alternatif olarak kullanılabilir. İçsel kaynaklar * Stokastik vektör Kaynak *

Kaynak

larVikipedi

Ayrık Olasılık Dağılımları

Klasik tanım

Kaynak

Olasılık teorisi

Tekdüze dağılım (ayrık)

Olasılık dağılımı

Olasılık kütle fonksiyonu

Sürekli olasılık dağılımları

Bernoulli dağılımı

Rademacher dağılımı

Hipergeometrik dağılım

Ayrık Olasılık Dağılımları