Steinhaus-Moser Gösterimi

Steinhaus–Moser gösterimi, aşırı derecede büyük sayıları ifade etme anlamına gelir. Steinhaus çokgen gösteriminin genişlemesidir. Açıklamalar

: Üçgenin içindeki $n$ sayısı $n$ ^$n$ anlamına gelir.
: Karenin içindeki $n$ sayısı "tümü içiçe olan $n$ tane üçgenlerin içindeki $n$ sayısı" ile eşdeğerdir."
: Çokgendeki $n$ sayısı "tümü içiçe olan $n$ tane karelerin içindeki $n$ sayısı" ile eşdeğerdir.

örn.: (

m + 1

) kenarlı çokgendeki

n

yazısı, "tümü içiçe olan

m

kenarlı

n

tane çokgenin içindeki

n

sayısı" ile eşdeğerdir. İçiçe seriye sahip çokgenler, içeriye doğru birleştirilirler. İki üçgenin içindeki

n

sayısı,

n

^$n$ sayısının kuvvetine yükselen

n

^$n$ ile eşdeğer olan bir üçgen içindeki

n

^$n$ ile eşdeğerdir. Steinhaus sadece, üçgen, kare ve yukarıda açıklanan çokgenin eşdeğeri olan çemberini tanımladı. Özel değerler Steinhaus şunları açıkladı: * mega, bir çemberdeki 2'ye eşdeğerdir: ② * megiston, bir çemberdeki 10'a eşittir: ⑩ Moser sayısı
, "mega" kenarlı bir çokgen olan "megaton'daki 2" olarak ifade edilir. Alternatif gösterimler: * kare(x) ve üçgen(x) fonksiyonlarını kullanma *

M(n,m,p

sayısı,

p

kenarlı

m

tane çokgenin içindeki

n

sayısı olarak ifade edildiğinde kurallar şöyle olur: **

M(n,1,3) = n^n

M(n,1,p+1) = M(n,n,p)

M(n,m+1,p) = M(M(n,1,p),m,p)

:ve ** mega =

M(2,1,5)

** moser =

M(2,1,M(2,1,5))

Mega Bir mega (yani ②), zaten çok büyük bir sayıdır. ② = kare(kare(2)) = kare(üçgen(üçgen(2))) = kare(üçgen(2²)) = kare(üçgen(4)) = kare(4⁴) = kare(256) = üçgen(üçgen(üçgen(...üçgen(256)...))) üçgen = üçgen(üçgen(üçgen(...üçgen(256²⁵⁶)...))) üçgen = üçgen(üçgen(üçgen(...üçgen(3,2 × 10⁶¹⁶)...))) üçgen = ... Diğer gösterimi kullanma: mega = M(2,1,5) = M(256,256,3)

f(x)=x^x

fonksiyonu ile mega =

f^(256) = f^(2)

elde ederiz. Buradaki üstindis fonksiyonel kuvveti ifade eder, sayısal kuvveti değil. Şunları elde ederiz (kuvvetlerin sağdan sola doğru değerlendirildiğine dikkat edin): * M(256,2,3) =

(256^)^}=256^}

* M(256,3,3) =

(256^})^}}=256^\times 256^}}=256^}}

≈

256^}}

Benzer şekilde: * M(256,4,3) ≈

}}}}

* M(256,5,3) ≈

}}}}}

vb. Buradan: * mega =

M(256,256,3)\approx(256\uparrow)^257

. Buradaki

(256\uparrow)^

f(n)=256^n

fonksiyonunun fonksiyonel kuvvetini ifade eder. Knuth yukarı ok gösterimini kullanıp, çok kabaca yuvarlayarak (256'nın sonuna 257 koyarak) mega ≈

256\uparrow\uparrow 257

olarak bulunur. Birkaç adımdan sonra

n^n

değeri, her zaman yaklaşık olarak

256^n

'e eşittir. aslında yaklaşık olarak

10^n

'e bile eşit olabilir (Ayrıca çok büyük sayıların yaklaşık aritmetiğine bakınız). 10 tabanlı kuvveti kullanırsak şunu elde ederiz: *

M(256,1,3)\approx 3.23\times 10^

M(256,2,3)\approx10^}

(

\log _ 616

, 616'ya eklenir) *

M(256,3,3)\approx10^}}

(

619

, ihmal edilebilir değer olan

1,99\times 10^

'a eklenir. Böylece en alta sadece 10 eklenir) *

M(256,4,3)\approx10^}}}

... * mega =

M(256,256,3)\approx(10\uparrow)^1,99\times 10^

. Buradaki

(10\uparrow)^

f(n)=10^n

fonksiyonunun fonksiyonel kuvvetini ifade eder. Bundan dolayı

10\uparrow\uparrow 257 < \mbox < 10\uparrow\uparrow 258

Moser sayısı Conway dizisi ok gösteriminde şöyle kanıtlanmıştır, :

moser \ < \ 3\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 2

, ve Knuth yukarı ok gösteriminde, :

moser \ < \ f(f(f(4))), \quad \mbox \ \ f(n) = 3 \uparrow^n 3.

Bu yüzden, akıl almaz büyük olmasına rağmen

Moser sayısı

, Graham sayısı ile kıyaslandığında çöldeki kum tanesi (veya oksayustaki bir damla su) gibidir, şöyle ki: :

moser \ << \ 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2 \ < \ f^(4) \ = \ Graham's \ number.

Ayrıca bakınız * Ackermann işlevi Dış bağlantılar * Robert Munafo'nun Büyük Sayıları (İngilizce) * mathworld.wolfram.com sitesindeki megistron (İngilizce) * mathworld.wolfram.com sitesindeki çember gösterimi (İngilizce)

Kaynaklar

Vikipedi

Steinhaus-Moser Gösterimi