Diplomat Ahmet Naci Kenter ve Olga Cynthia'nın oğlu olarak 1922 yılında İstanbul'da dünyaya geldi. 1947`de Ankara Devlet Tiyatrosu Çocuk bölümünde tiyatroya başladı. Ankara Devlet Konservatuvarı Tiyatro Bölümü'nde eğitim gördü; okulu 1955 yılında yüksek derece ile bitirdi ve devlet tiyatrosuna girdi. Sanat yaşamı, devlet tiyatrosunda oynadığı Oğuz Ata oyunu ile başladı.
Müşfik Kenter, 1959 yılında devlet tiyatrosu'ndan ayrıldı, İstanbul'a giderek kardeşi Yıldız Kenter ile beraber Muhsin Ertuğrul ile çalıştı, Küçük Sahne'de oyunlar sergilediler. Şükran Güngör ve Kamuran Yüce ile bu dönemde biraraya geldiler ve dörtlü olarak birlikte uzun yıllar tiyatro yaptılar.
1960-1961 yılları arasında Site Tiyatrosu`nu kurdular. 1962'de adını Kent Oyuncuları olarak değiştirdiler. İki kardeş ve Şükran Güngör, 1968'de İstanbul’da Kenter Tiyatrosunun binasının inşaatını tamamladılar. Tiyatroyu yapmaları tüm paralarını ortaya koymalarını, büyük bir turne ile Anadolu'yu gezmelerini ve bir koltuk satma kampanyası ile destek toplamaları gerekmişti. Seyircilerin pek anlamayacağı düşünülen oyunları sahnelemekten çekinmediler.
Müşfik Kenter İngiliz Kültür Heyeti ve Rockefeller`den burslar alarak Amerika ve İngiltere`de tiyatro araştırmaları yapmış ve incelemelerde bulundu.
İngiltere, Amerika, Fransa, Almanya, Yugoslavya, Kıbrıs gibi bir çok ülkede oyunlar sergiledi.
Mimar Sinan Üniversitesi Devlet Konservatuvarı`ndan emekli olduktan sonra, Haliç Üniversitesi Konservatuvarı Tiyatro Bölümü Başkanlığını ve Bakırköy Belediyesi Şehir Tiyatrosu Genel Sanat Yönetmenliği görevlerinde bulundu.
Tiyatro oyunculuğunun yanı sıra sinema oyunculuğu da yaptı. 1966 Antalya Film Festivali'nde "en iyi yardımcı erkek oyuncu" ödülünü kazandı. Yerli ve yabancı TV filmlerinde seslendirme yaptı. Mehlika Kenter ve Gülsüm Kamu ile evlenip ayrıldı.