Türkçe Bilgi: Legendre polinomları

Legendre Polinomları Hakkında Detaylı Bilgi

Legendre fonksiyonları, aşağıdaki Lagendre diferansiyel denkleminin çözümleridir. :

L = (1 - x^2)+l(l+1)* y \,

;

l \in (0,\mathbb^+)

Bu adi diferansiyel denklem daha çok fizikte ve diğer teknik alanlarda kullanılır. Özellikle küresel koordinat sisteminde, kısmi diferansiyel denklem ile ilgili Laplace denklemi çözerken ortaya çıkar. Tekrarlı tanımı Aşağıdaki genişletilmiş Taylor serisidir; :

\frac} = \sum_^\infty P_n(x) t^n.\qquad

(Denklem I) (Denklem I)'in ilk iki terimini ele alalım: :

P_0(x) = 1,\quad P_1(x) = x

Bu ilk iki terim Legendre polinomudur. Diğer birkaç Legendre polinomları şunlardır:

n	$P_n(x)\,$
0	$1\,$
1	$x\,$
2	$\begin\frac12\end (3x^2-1) \,$
3	$\begin\frac12\end (5x^3-3x) \,$
4	$\begin\frac18\end (35x^4-30x^2+3)\,$
5	$\begin\frac18\end (63x^5-70x^3+15x)\,$
6	$\begin\frac1\end (231x^6-315x^4+105x^2-5)\,$
7	$\begin\frac1\end (429x^7-693x^5+315x^3-35x)\,$
8	$\begin\frac1\end (6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)\,$
9	$\begin\frac1\end (12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)\,$
10	$\begin\frac1\end (46189x^-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)\,$

Çözümü Legendre fonksiyonu, [1] aralığında tanımlı, ±1 noktalarında kaldırılabilir tekilliğe sahip bir denklemdir. Kapalı formu şu şekilde gösterilir. :

Ly = 0\,

Burada L, Legendre operatörüdür. Denklem Frobenius yöntemi ile, p=0 alınarak çözülürse. :

y= \sum_^a_n x^n

y' = \sum_^n a_n x^

y

= \sum_^n(n-1) a_n x^ ifadeleri denklemde yerlerine koyularak, :^n(n-1) a_n x^ - 2x\sum_^n a_n x^ + l(l+1)\sum_^a_n x^n |- | | $a_n x^n + \sum_^n(n-1) a_n x^$ |- | | $a_n x^n + \sum_^(n+2)(n+1) a_ x^n$ |- | | $=\sum_^\left + (n+2)(n+1)a_\right x^n$ |- | | $=0\,$ |} Bu eşitlikten çıkan karakteristik denklem ise: : $a_2 = - a_0$ olur. Genellenirse : $a_ = -a_n$ Bu şekilde geriye dönerek tekrarlanarak çözüm bulunur.
Çözümü
n sonlu olabilmesi için : $\lim_\left|x^ \over a_nx^n}\right|<1$ şartı sağlanması gerektiğinden, karakteristik denklem yardımıyla elde edilen çözümün sonlu olması ancak : $n =-l \mbox n = -(l+1)\,$ şeklinde serinin kesilmesi ile olur. Bu şekilde oluşan polinomlara 'Legendre polinomları denir ve dolayısıyla bu polinomlar Legendre diferansiyel denkleminin çözümüdür.
Kaynaklar
Vikipedi

Görüşler ve Yorumlar

Bu konuda henüz görüş yok.

Legendre Polinomları

Çözümü

Kaynaklar

Adrien-Marie Legendre

Özel fonksiyonlar

Rodrigues formülü

Legendre chi fonksiyonu

Fonksiyonel analiz konuları listesi

Matematiksel fonksiyonların listesi

Küresel harmonikler

Apéry sabiti