Türkçe Bilgi: Hipergeometrik dağılım

Olasılık dağılımı |

isim    =Hipergeometrik|

tip    =kütle|

pdf_image =|

cdf_image =|

parametreler = $\beginN&\in 0,1,2,\dots \                 m&\in 0,1,2,\dots,N \                 n&\in 0,1,2,\dots,N\end\,$ |

destek  = $\scriptstyle,\, \dots,\, \min{(m,\, n)\,$ |

OYF    = $N-m} \choose \over {N \choose n$ |

YDF    =|

ortalama    = $n m\over N$ |

medyan   =|

mod    = $\left \lfloor \frac \right \rfloor$ |

varyans  = $n(m/N)(1-m/N)(N-n)\over (N-1)$ |

çarpıklık  = $\frac(N-2n)}(N-2)}$ |

basıklık = $\left [1]$

\cdot\left[\frac\right.

+\left.\frac-6\right]

entropi  =|

mf    = $\fracN-m \choose n} \scriptstyle) } }$

            N \choose n \,\!|

kf    = $\fracN-m \choose n} \scriptstyle)$

N \choose n

Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, hipergeometrik dağılım sonlu bir ana kütle içinden tekrar geri koymadan seri halinde birbiri arkasından ``n`` tane nesnelerin çekilmesi şekilinde bir işlem için ``başarı`` sayısının dağılımını betimler.

Bir tipik örnek, iki kategorik değişkeni sınıflandiran bir olumsallık tablosunda gösterilebilir:

Format problem: Eğer düşük resülasyonlu Firefox kullanilirsa eger yazi saga tam yanaştırilmazsa ortaya problem çıkmaktadir. Lutfen yazinizi format ederek her zaman tam saga getirin. ! --> >

! || Çekilmiş || Çekilmemiş || Toplam

|- align="right"

| Hatalı || ``k`` || ``m`` aˆ’ ``k`` || ``m``

|- align="right"

| Hatasız || ``n`` aˆ’ ``k`` || ``N + k aˆ’ n aˆ’ m`` || ``N aˆ’ m``

|- align="right"

| Toplam || ``n`` || ``N aˆ’ n`` || ``N``

|-

Eğer içinde ``m`` sayıdan daha fazla hatalı mal birimi olmadığını kabul ettiğimiz ``N`` sayıda mal birimini ihtiva eden bir mal teslimi yapılmıştır. Bu ``N`` sayıdaki mal birimi içinden tam ``n`` sayıda bir örnek alınıp bunlar test kontrolünden geçilirilirse bu örnek içinde tam ``k`` tane hatalı mal birimi bulunacağı ``hipergeometrik dağılım`` ile açıklanır.

Genel olarak: Eğer bir rassal değişken ``X`` rassal değişkeni ``N``, ``m`` ve ``n`` parametreleri olan bir hipergeometrik dağılım gösterirse, tam olarak ``k`` sayıda ``başarı`` elde edilmesi, şu fonksiyonla bulunur:

f(k;N,m,n) =  N-m} \choose \over {N \choose n.

``k`` değeri max(0, ``n``+``m``aˆ’``N``) ile min{``m``, ``n``) arasında olursa olasılık pozitifdir.

Bu formül şöyle daha da açıklanabilir: (Geri koyulmadan) alınabilmesi mümkün örnek sayısı

\tbinom

olur. Hatalı nesne sayısının ``k`` olması için

\tbinom

sayıda alternatif bulunur; örneğin geride kalan kısmınin hatasız nesnelerle doldurulması için de

\tbinom

alternatif mevcuttur.

``k`` 0 ve ``N`` arasında her tamsayı değeri alabildiği için ve olasılık değerlerinin toplamı 1 olduğu için, bu kombinatorik matemetik kuramına göre Vandermonde`nin özdeşliğidir.

Uygulama ve bir örneğin

Hipergeometrik dağılımın klasik uygulaması ``geri koymadan örnekleme`` adı verilebilen bir denemedir. Bir küp problemi düşünülsün: bir küpün içinde iki tip küçük top, beyaz ve siyah, bulunduğu düşünülsün. Aynen bir binom dağılımı için yapılan deneme gibi, küpten bir beyaz top çekmeye ``başarı`` adı verilsin ve alternatif olan siyah top çekmek ``başarısızlık`` sayılsın. ``N`` ``küpte bulunan topların toplam sayısı``, ``m`` küpteki ``beyaz top`` sayısı ve böylece ``N`` aˆ’ ``m`` ise küpteki ``siyah top`` sayısı olsun. Şimdi küpün içinde 5 beyaz ve 45 siyah top olduğu varsayılsın. Gözleri kapalı olarak küpten birer birer 10 tane top çekilsin ve her çekilen top küpe geri konulmasın. Bu deneme ``geri koyulmadan örnekleme`` olur.

Araştırmayı ilgilendiren soru: Bu çekişte küpten tam 4 tane beyaz top çekme (yani ima ile 6 tane de siyah top çekme) olasılığı nedir? Buna binom dağılım modeli uygulanamaz; çünkü her çekilişte başarı olasılığı değişmektedir. Bu problem iki kategorik değişkeni sınıflandıran olumsallık tablosunda şöyle özetlenebilir:

	Çekilmiş	Çekilmemiş	Toplam
Beyaz toplar	4 (``k``)	1 = 5 aˆ’ 4 (``m`` aˆ’ ``k``)	5 (m)``
Siyah toplar	6 = 10 aˆ’ 4 (``n`` aˆ’ ``k``)	39 = 50 + 4 aˆ’ 10 aˆ’ 5 (``N + k aˆ’ n aˆ’ m``)	45 (``N aˆ’ m``)
Toplam	10 (``n``)	40 (``N aˆ’ n``)	50 (``N``)

Küpten tam olarak ``k`` tane beyaz top çekmenin olasılığı şu formül kullanılarak hesaplanir:

\Pr(K=k) = f(k;N,m,n) =  N-m} \choose \over {N \choose n.

Bu problkem için ``k`` = 4 olduğundan 4 tane beyaz top (ve 6 tane siyah top) çekme olasılığı

\Pr(K=4) = f(4;50,5,10) =  45} \choose \over {50 \choose 10 = 0.003964583\dots.

çok düşük bir değerde (yaklaşık 0,004) olup, olabilirliği nerede ise sıfıra eşittir. Bu bir değişik ifade ile açıklanırsa bu rassal deneme (yani içinde 50 top bulunan bir küpten 10 tane top çekip hiçbirini geri koyulmamasi denemesini) 1000 defa tekrarlanırsa 4 beyaz (ve 7 siyah) top elde etmek ancak 4 defa ortaya çıkan bir sonuç olacaktır.

Bu sefer küpten 5 tane beyaz (ve 5 tane siyah) top çekme olasığına göz atılsın. İki kategorik değişkeni sınıflandıran olumsallık tablosu şöyle kurulur:

	Çekilmiş	Çekilmemiş	Toplam
Beyaz toplar	5 (``k``)	0 = 5 aˆ’ 5 (``m aˆ’ k``)	5 (m)``
Siyah toplar	5 = 10 aˆ’ 5 (``n aˆ’ k``)	40 = 50 + 5 aˆ’ 10 aˆ’ 5 (``N + k aˆ’ n aˆ’ D``)	45 (``N aˆ’ m``)
Toplam	10 (``n``)	40 (``N aˆ’ n``)	50 (``N``)

Olasılık şöyle hesaplanabilir (Dikkat edilirse paydalar hep aynıdır):

= f(5;50,5,10) = 45} \choose \over {50 \choose 10 = 0.0001189375\dots,

Beklendiği gibi 5 beyaz top çekme olasılığı, 4 beyaz top çekme olasılığının çok daha altındadır.

Simetriler

Hipergeometrik dağılımda n ve m parametreleri arasında çok önemli simetriler vardır. Bu simetriler verilen küp problemi için önemli değil gibi görünmektedirler. Gercekten verilen bazı hipergeometrik dağılım gösteren problemlerde n ve m parametreleri hiçbir problem olmadan birbiriyle değiştirilebilir. Ancak hayat/ölüm sorunlarına hipergeometrik dağılım uygulanmaya başlayınca önemleri anlaşilabilir.

Parametreler olan n ve m arasindaki simetriler şöyle siralanbilirler:

Bu halde ``siyah`` ve ``beyaz`` en basitce rol değişstirmektdirler.

f(k;N,m,n) = f(n aˆ’ k;N,N aˆ’ m,n)

Bunu daha kolay anlamak icin siyah toplar beyaza; beyaz toplar siyaha boyanınca neyin değiştiğıni düşünmek gerektir.

Bu halde ``çekilmiş`` ve ``çekilmemiş`` toplar rol değiştirmektdirler.

f(k;N,m,n) = f(m aˆ’ k;N,m,N aˆ’ n)

Bu simetriyi anlamak icin topları çekme hareketini unutup, zaten çekilmiş olan toplara dikkat

çekilmektedir ve zaten çekilmiş olan toplara etiket yapıştırma işlemine benzer:

f(k;N,m,n) = f(k;N,n,m)

İlişkili dağılımlar

X ~ Hypergeometrik(

m

N

n

) ve

p=m/N

olsun.

Eğer $n=1$ ise $X$ rassal değişkeni $p$ parametreli bir Bernoulli dağılım gösterir.

Eğer 0 veya 1 e eşit olmayan $n$ ve $p$ ile karşılaştırılınca $N$ ve $m$ büyük değerlerde iseler, o halde

P \le x \approx P \le x

Burada

Y

rassal değışkeni parametreleri

n

p

olan bir binom dağılım gösterir.

Eğer 0 veya 1 e eşit olmayan $n$ ve $p$ ile karşılaştırılınca $N$ ve $m$ büyük değerlerde iseler, o halde

\approx \Phi \left(\frac{\sqrt{n p (1-p) \right)

Burada

\Phi

bir standart normal dağılımı gösterir.

İçsel bağlantılar

Kaynak

Kaynak wiki

|url=http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometric_distribution|tarih=14 Mart 2008 |dil=İngilizce|madde=Hypergeometric_distribution

Dışsal bağlantılar

Olasılık Dağılımları|Hipergeometrik dağılım

Kaynaklar

Vikipedi

Hipergeometrik Dağılım

Uygulama ve bir örneğin

Simetriler

İlişkili dağılımlar

İçsel bağlantılar

Kaynak

Dışsal bağlantılar

Kaynaklar

İlgili konular

Hipergeometrik fonksiyon

Olasılık dağılımı

Binom dağılımı

Normal Dağılım

İstatistiksel terimler, kavramlar ve konular listesi

Tekdüze dağılım (ayrık)

Ayrık olasılık dağılımları

Üstel dağılım

Hipergeometrik Dağılım

Hipergeometrik Dağılım Hakkında Detaylı Bilgi

Uygulama ve bir örneğin

Simetriler

İlişkili dağılımlar

İçsel bağlantılar

Kaynak

Dışsal bağlantılar

Kaynaklar

İlgili konular

Görüşler ve Yorumlar

Okuma Önerileri

Hipergeometrik fonksiyon

Olasılık dağılımı

Binom dağılımı

Normal Dağılım

İstatistiksel terimler, kavramlar ve konular listesi

Tekdüze dağılım (ayrık)

Ayrık olasılık dağılımları

Üstel dağılım