Türkçe Bilgi: Delta metodu

Delta Metodu istatistikte, bir asimtotik normal istatistiki tahmin edicinin fonksiyonu için bu tahmin edicinin sınırlayıcı varyans bilgisi kullanılarak yaklaşık bir olasılık dağılımı türetme metodudur. Delta metodu merkezi limit teoreminin genelleştirilmiş hali olarak ele alınabilir. Tek Değişkenli Delta Metodu X_n dağılımda :

\,\xrightarrow\,N(0,\sigma^2)},

koşulunu sağlayan rassal değişkenler dizisi olsun. ( Burada

\theta

\sigma^2

sonlu değere sahip sabitleri ve

\xrightarrow

dağılımda yakınsamayı temsil etmektedir.) Veri bir g fonksiyonu ve belli bir

\theta

değeri için

g'(\theta)

'nın var olduğunu ve sıfıra eşit olmadığını varsayalım. O halde dağılımda, :

[2] \,\xrightarrow\,N(0,\sigma^2 [3]^2)}

olur. Tek Değişkenli Durumda Kanıt

g'(\theta)

süreklidir varsayımı altında kanıtı gerçekleştirmek oldukça kolaydır. Öncelikle ortalama değer kuramı kullanılarak başlanır; :

g(X_n)=g(\theta)+g'(\tilde)(X_n-\theta),

Burada

\tilde

X_n

\theta

arasında bir değer almaktadır.

X_n\,\xrightarrow\,\theta

\tilde \,\xrightarrow\,\theta

'yı ima ettiğinden ve

g'(\theta)

sürekli olduğundan Slutsky Teoremi'nin uygulanması sonucunda :

g'(\tilde)\,\xrightarrow\,g'(\theta),

elde edilir ki burada

\xrightarrow

olasılıkta yakınsamayı ifade etmektedir. İfadeleri düzenler ve

\sqrt

ile çarparsak :

\sqrt [4] =g'(\tilde)\sqrt [5] .

ifadesini elde ederiz. Varsayım gereği, :

\xrightarrow N(0,\sigma^2)}

olduğundan Slutsky Teoreminden :

[7] \xrightarrow N(0,\sigma^2 [8]^2)}.

elde edilir ve kanıt tamamlanır. Çok Değişkenli Delta Metodu Tanım gereği, istatistikte tutarlı tahmin edici

B

gerçek değeri olan

\beta

'ya yakınsar ve genelde asimtotik normalite elde etmek için merkezi limit teoremi uygulanabilir. :

\sqrt\left(B-\beta\right)\,\xrightarrow\,N\left(0, \Sigma \right),

burada n gözlem sayısını ve

\Sigma

(simetrik pozitif yarı belirli) kovaryans matrisini ifade etmektedir. B tahmin edicisinin h fonksiyonuna ait varyansını tahmin etmek istediğimizi varsayalım. Taylor serisinin ilk iki terimini ele alır ve gradyan için vektör notasyonu kullanırsak, h(B)'yi :

h(B) \approx h(\beta) + \nabla h(\beta)^T \cdot (B-\beta)

olarak tahmin edebiliriz ki bu h(B)'nin varyansının yaklaşık olarak, :

\begin \operatorname\left(h(B)\right) & \approx \operatorname\left(h(\beta) + \nabla h(\beta)^T \cdot (B-\beta)\right) \\   & = \operatorname\left(h(\beta) + \nabla h(\beta)^T \cdot B - \nabla h(\beta)^T \cdot \beta\right) \\   & = \operatorname\left(\nabla h(\beta)^T \cdot B\right) \\   & = \nabla h(\beta)^T \cdot Var(B) \cdot \nabla h(\beta) \\   & = \nabla h(\beta)^T \cdot (\Sigma/n) \cdot \nabla h(\beta) \end

olduğunu ima eder. (Çok değişkenli reel değerli fonksiyonlar için) Ortalama limit teoremi kullanılarak bunun birinci derece yakınlaştırmaya dayanmadığı görülebilir. Dolayısıyla Delta metodu, :

\sqrt\left(h(B)-h(\beta)\right)\,\xrightarrow\,N\left(0, \nabla h(\beta)^T \cdot \Sigma \cdot \nabla h(\beta) \right)

veya tek değişken ifadesiyle, :

\sqrt\left(h(B)-h(\beta)\right)\,\xrightarrow\,N\left(0, \sigma^2 \cdot \left(h^\prime(\beta)\right)^2 \right).

olduğunu ima eder. Örnek

X_n

'in

p

n

parametreleri ile binom dağılıma sahip olduğunu varsayalım. :

\,\xrightarrow\,N(0,p (1-p))},

olduğundan,

g(\theta) = \log(\theta)

ile delta metodunu uygulayabilir ve :

\left \log\left( \frac\right)-\log(p)\right \,\xrightarrow\,N(0,p (1-p) [9]^2)}

olduğunu görebiliriz. Dolayısıyla,

\log \left( \frac \right)

'in varyansı yaklaşık olarak :

\frac. \,\!

şeklindedir. Dahası, eğer

\hat p

\hat q

sırasıyla

n

m

büyüklüklerinde bağımsız örneklemlerden elde edilen farklı grup oranı tahminleriyse, tahmini göreli risk

\frac

'nın logaritması yaklaşık olarak

\frac+\frac

ile tahmin edilebilecek varyansa sahip normal dağılıma sahiptir. Bu göreli risk için hipotez testi kurmak veya güven aralığı oluşturmak için faydalıdır. Not Delta metodu genellikle X_n veya B'nin asimtotik olarak normal olarak dağıldığı varsayımı hariç yukarıdaki ile benzer biçimde kullanılmaktadır. Genelde tek şart varyansın küçük olduğudur. Bu durumda sonuçlar sadece dönüştürülmüş büyüklükler için ortalama ve kovaryanslar için yaklaştırımlar verir. Örneğin, Klein (1953, p.258)'da sunulan formüller şu şekildedir; :

\begin \operatorname \left( h_r \right) = & \sum_i   \left( \frac \right)^2  \operatorname\left( B_i \right) + \\  & \sum_i \sum_   \left( \frac \right)  \left( \frac \right)  \operatorname\left( B_i, B_j \right) \\ \operatorname\left( h_r, h_s \right) = & \sum_i   \left( \frac \right)  \left( \frac \right)  \operatorname\left( B_i \right) + \\  & \sum_i \sum_   \left( \frac \right)  \left( \frac \right)  \operatorname\left( B_i, B_j \right) \end

burada h_r, h(B)'nin r'inci elemanı ve B_i, 'nin i'inci elemanıdır. Tek fark Klein'ın bunları aslında yaklaştırımlar olmasına rağmen özdeşlikler olarak ifade etmesidir. Ayrıca bakınız * Taylor açılımı * Slutsky teoremi Kaynaklar * Casella, G. and Berger, R. L. (2002), Statistical Inference, 2nd ed. * Davison, A. C. (2003), Statistical Models, pp.33–35. * Greene, W. H. (2003), Econometric Analysis, 5th ed., pp.913f. * Klein, L. R. (1953), A Textbook of Econometrics, p.258. * Oehlert, G. W. (1992), A

Not

e on the Delta Method, The American Statistician, Vol. 46, No. 1, p.27-29. * Ders

Not

ları (İngilizce) * Ders

Not

ları (İngilizce) * Stata Programı Websitesinden Tanım (İngilizce)

Kaynaklar

Vikipedi

Delta Metodu

Not

Not

Not

Kaynaklar

Sayısal Analiz

Devre analizi

Asal çarpanlara ayırma

Optimizasyon

Poisson denklemi

Kapasite (elektrik)

Dalyan Gölü, Bursa

Elektrokimya

Delta Metodu

Delta Metodu Hakkında Detaylı Bilgi

Not

Not

Not

Kaynaklar

Görüşler ve Yorumlar

Okuma Önerileri

Sayısal Analiz

Devre analizi

Asal çarpanlara ayırma

Optimizasyon

Poisson denklemi

Kapasite (elektrik)

Dalyan Gölü, Bursa

Elektrokimya