Büyüklük
Verilen bir A kümesinin en az B kümesi kadar büyük olması B'den A'ya bir birebir fonksiyonun var olması şeklinde tanımlanır ( yazılır). Böylelikle B'nin bir kopyasının A'nın içersinde bulunabiliyor olması sağlanır. Eğer aynı şekilde B'den de A'ya bir birebir fonksiyon varsa o zaman bu iki küme eşit büyüklükte denir ( yazılır).- Örnek olarak Çift Tam Sayılar Kümesi'nin () ile Tam Sayılar Kümesi düşünülebilir. 'nin elemanları 'nin içersinde kendi kendilerine gönderilirse, Tam Sayılar Kümesi'nin en az Çift Tam Sayılar Kümesi kadar büyük olduğu görülür (). Aynı şekilde Tam Sayılar Kümesi'nin elemanları da iki katlarına gönderilerek Tam Sayılar Kümesi'nden Çift Tam Sayılar Kümesi'ne birebir bir fonksiyon tanımlanabilir. Bu durumda bu iki kümenin büyüklüğü eşittir. Birebir eşlemeler yoluyla kümeleri karşılaştırma fikri Kümeler Teorisi'nde Kardinal Sayılar kavramının temelini oluşturur.
Kısa Tarihçe
19. yüzyılın sonunda sonsuzluk kavramı ve sonsuz eleman içeren kümeler matematikçilerin dikkatini çekmeye başlaması ile birlikte bu konuda pek çok soru ortaya çıktı. Sonsuz sayıda eleman içeren pek çok küme olduğu bilinmekle birlikte bu kümelerin büyüklüklerinin hep aynı olup olmadığı bilinmiyordu. Cantor Reel Sayılar Kümesi ile Doğal Sayılar Kümesi'nin büyüklükleri arasındaki ilişkiyle ilgileniyordu. Kolayca görüleceği gibi Reel Sayılar Kümesi'nin büyüklüğü en az Doğal Sayılar Kümesi'ninki kadardır. Bu noktada Cantor'un esas cevap vermesi gereken soru Reel Sayılar'dan Doğal Sayılar'a birebir bir fonksiyonun tanımlanıp tanımlanamayacağıydı. Bu sorunun cevabının olumsuz olduğunu Cantor ana hatlarıyla aşağıdakine benzer bir argümanla açıkladı.İspat
Reel sayıların sonlu veya sonsuz uzunlukta ondalık sayılar olarak yazılabileceği bilinir. Diyelim ki Cantor'un iddiası yanlış ve de reel sayılarla doğal sayılar birebir eşlenebiliyor. O zaman sadece 0 la 1 arasındaki reel sayılarla (bütün) doğal sayıları birebir eşlemek de mümkündür. Böyle bir eşlemeyi alalım ve 0 la 1 arasındaki reel sayıları verilen eşlemeye göre sıralayarak bir liste elde edelim. Şimdi 0 la 1 arasında öyle bir reel sayı kurgulayacağız ki bu sayının bu listede yer alması mümkün olmayacak. Bu sayıya C adını verelim ve onu şu kurala gre oluşturalım: birinci sayının ilk ondalık basamağına bakalım ve buradaki rakamdan farklı herhangi bir rakamı seçip C sayısının ilk basamağı olarak yazalım, aynı şekilde C'nin ikinci, üçüncü,... basamaklarını da oluşturalım. Mesela eğer 0 la 1 arasındaki reel sayılar aşağıdaki gibi sıralanmışsa:
1) 0,13567.......
^
2) 0,25678.......
^
3) 0,00212.......
^
4) 0,14221.......
^
.
.
.
C sayısının ilk basamağının 1'den farklı, 2. basamağının 5'ten farklı, 3. basamağının 2'den farklı, 4. basamağının gene 2'den farklı birer rakam olarak seçeriz.
Bu noktada fark etmemiz gereken şey, C'nin kendisi bir reel sayı olduğu halde bu listede yer alan her sayıdan en az bir ondalık basamakta (daha dorusu o sayı listemizde kaçıncı sırada yer alıyorsa o basamakta) farklı olduğu ve dolayısıyla bu listede yer alamayacağı. Demek ki var saydığımız birebir eşleme mümkün değil ve aslında reel sayılar kümesindeki eleman sayısı doğal sayılar kümesindeki eleman sayısından daha fazla.