Topolojik Uzay

Topolojik uzaylar, matematiğin Topoloji dalının başlıca uğraş konularıdır. Bir X kümesi ve bu kümenin alt kümelerinin bir kısmını içeren ve aşağıdaki varsayımları sağlayan S kümesinden oluşurlar:

1) ${\displaystyle \emptyset }$ ve X kümeleri S'nin elemanıdır;

2) S'nin elemanları arasından seçilecek herhangi bir ${\displaystyle U_{\alpha }}$ koleksiyonu için, ${\displaystyle \bigcup _{\alpha }U_{\alpha }}$ birleşim kümesi de S'nin bir elemanıdır,

3) S'nin elemanları arasından seçtiğimiz ${\displaystyle U_{1},...,U_{n}}$ kümelerinin kesişimi olan ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}U_{i}}$ kümesi de S'nin elemanıdır.

Burada ikinci şartta bahsettiğimiz koleksiyonun sonsuz sayıda eleman içerebileceğine ancak üçüncü şarttaki altkümelerin sayısının sonlu olduğuna dikkat etmek gereklidir.

Geleneksel olarak X'in altkümelerinden S'nin elemanı olanlara açık kümeler denir. Buna karşılık C kümesi X'in bir altkümesiyse ve de ${\displaystyle X\setminus C}$ fark kümesi açık bir kümeyse, o zaman C'ye de kapalı bir küme denir. Bu tanıma göre X ve ${\displaystyle \emptyset }$ kümeleri aynı zamanda hem açık hem kapalıdırlar.

Verilen bir (X,S) topolojik uzayında X'in altkümelerinden oluşan öyle bir Y kümesi olsun ki X'te açık her küme Y'nin elemanlarının bir birleşimi olarak yazılabilsin. Bu durumda Y kümesine (X,S) uzayının temeli denir.

Kaynak: