Türkçe Bilgi logo TürkçeBilgi

Primitive Root Modulo N (Asal Kök)

Kısaca: Bir asal kök modülü n sayılar teorisindeki modüler aritmetikten bir kavramdır. Eğer ``n`` &ge; 1 olan bir tamsayı ise, n formuna göre aralarında asal sayılar mod n`e göre çarpılarak, bir grup oluşturacak şekilde yapılan işlem,(Z/``n``Z)<sup>&times;</sup> veya Z<sub>n</sub><sup>*</sup> olarak gösterilir. ...devamı ☟

Bir asal kök modülü n sayılar teorisindeki modüler aritmetikten bir kavramdır. Eğer ``n`` &ge; 1 olan bir tamsayı ise, n formuna göre aralarında asal sayılar mod n`e göre çarpılarak, bir grup oluşturacak şekilde yapılan işlem,(Z/``nZ)&times; veya Zn* olarak gösterilir. Bir asal sayı için ``p`` &ge; 3 ve ``k`` &ge; 1 ise, bu grup ancak ve ancak 1, 2, 4, ``p````k``, veya 2 ``p````k`` `ya denktir. Bu döngüsel grubun bir üreteci asal kök modülü n veya Zn* `in bir asal elemanıdır şeklinde tanımlanır.

Bir asal kök modülü n, diğer bir değişle, mod n`e göre ``g`` gibi öyle bir tamsayıdırki n`le beraber ortak çarpanı olmayan her tamsayı, ``g`` `nin bir kuvvetine denktir. Örneğin n=14 alalım.(Z/14Z)&times; `in elemanları

1, 3, 5, 9, 11 ve 13 `ün denk sınıflarından oluşur.


mod 14`e göre 32&nbsp;&equiv;&nbsp;9, 33&nbsp;&equiv;&nbsp;13, 34&nbsp;&equiv;&nbsp;11, 35&nbsp;&equiv;&nbsp;5 ve 36&nbsp;&equiv;&nbsp;1 olduğundan, ``3`` mod 14`e göre bir asal köktür. Mod 14 için diğer ve tek asal kök ise 5`tir. 

n   nk (mod 14) &ndash; (satırlardaki değerler döngüsel şarta bağlı olarak tekrardan sonra kesilmiştir)
1 :  1,
2 :  2, 4, 8 
3 :  3, 9, 13, 11, 5, 1 
4 :  4, 2, 8 
5 :  5, 11, 13, 9, 3, 1
6 :  6, 8
7 :  7,
8 :  8,
9 :  9, 11, 1
10 : 10, 2, 6, 4, 12, 8
11 : 11, 9, 1
12 : 12, 4, 6, 2, 10, 8
13 : 13, 1
14 :  0,


14`le aralarında asal olan sayılar yalnızca kuvvetlerinden biri 1 (mod 14)`e ulaşan sayılardır. Bu sayıların oluşturduğu küme S&nbsp;=&nbsp;(1,&nbsp;3,&nbsp;9,&nbsp;13,&nbsp;11,&nbsp;5)`dir.

Problemi ``f``(``n``,&nbsp;``k``)&nbsp;=&nbsp;``nk``&nbsp;&minus;&nbsp;1&nbsp;&equiv;&nbsp;0&nbsp;(mod&nbsp;14) gibi ele alırsak, ``n`` için tasarlanan köklerin ``k``&nbsp;>&nbsp;0 olan kuvvetleri için bir polinom sağladığını görürüz. S kümesindeki elemanların tümü, R&nbsp;=&nbsp; kümesindeki sayılardan ve onların kuvvetlerinden elde edilebilir. Ama örneğin 11`den ve onun kuvvetlerinden elde edilemez (mod 14 için). S kümesi tüm kökleri içerir. R kümesi ise asal kökleri içerir. Bunların (mod 14)`e göre tüm kuvvetleri döngüsel olarak tüm kökleri elde eder.

Kaynaklar

Vikipedi

İlgili konular

modüler aritmetik asal kök

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.