Fermat'nın asıl önemli teoremi ise, "xn + yn = zn denklemi x, y, z ve n'nin pozitif değerleri için eğer n>2 ise imkansızdır" biçimindedir. Bütün n'ler için doğru olan kanıt henüz bulunmamıştır, ama teorem çok sayıda değer için doğrudur.
Fermat, bütün teoremlerinin dakik ispatlarını vermemişti. 1879 yılına kadar onun kullanmış olduğu ispat yöntemleri tamamıyla kayıptı; bu tarihte Leiden Kütüphanesi'nde Huygens'in yazmaları arasında bulunan bir belge, Fermat'nın indüktif metodu kullandığını gösterdi. Fermat, bu metodun, özellikle belirli bağıntıların imkansızlığının ispatına uygun olduğunu söylemiştir.
Fermat matematiksel olasılıklar kuramının da kurucusuydu. Pascal ile birlikte, bir şans oyununda her oyuncunun kazanma olasılığı problemi üzerinde durmuş ve kombinasyonlar teorisiyle problemi çözmüştür.
Fermat'ın hayatı
Fermat 17 Ağustos 1601 yılında Fransa'nın Beaumont-de-Lomagne kentinde doğmuştur. Babası zengin bir deri tüccarı ve Beaumont-de-Lomagne'de ikinci konsolostu. Fermat'ın bir erkek kardeşi ve iki kız kardeşi vardı ve doğmuş olduğu bu kentte büyümüştü. Buna karşın yerel Fransiscan Manastırına gittiğine dair çok az kanıt vardır.1920'lerin ikinci yarısında, Bordeaux'ya gitmeden önce Toulouse Üniversitesinde eğitim görmüştür. Bordeaux'da ilk ciddi matematiksel araştırmalarına başlamış ve 1629'da orada bulunan bir matematikçiye Apollonius'un Plane loci adlı eserinin, kendisinin düzenlemiş olduğu bir kopyasını sunmuştur. Bordeaux'da Beaugrand ile tanışmış ve bu sırada matematiğe olan ilgisini Fermat ile paylaşan Etienne d'Espagnet'e sunmuş olduğu "maximum ve minimum" üzerindeki önemli çalışmalarını üretmiştir.
Bordeaux'dan, üniversitede hukuk eğitimi aldığı Orléans'a gitmiştir. Medeni hukuk alanında derece almış ve Toulouse parlamentosunda meclis üyesi olma hakkını kazanmıştır. Böylece Fermat 1631 yılından itibaren artık bir hukukçu ve Toulouse'da bir devlet memuru olmuştur ve sahip olduğu bu işinden dolayı, ona Pierre Fermat olan adını Pierre de Fermat olarak değiştirme yetkisi verilmiştir.
Fermat hayatının geri kalan kısmını Toulouse'da geçirdi, ancak orada çalıştığı kadar doğduğu yer olan Beaumont-de-Lomagne'da ve Castres yakınlarında bir kasabada da çalıştı. 14 Mayıs 1631'deki atamasından itibaren parlamentonun düşük meclisinde çalışmış ancak 16 Ocak 1638'de daha yüksek bir meclise atanmış ve 1652'de ceza mahkemesinin en yüksek makamına terfi ettirilmiştir. Meslek yaşamında elde edebileceği daha yüksek terfiler de vardı ancak terfiler çoğunlukla yaşça daha kıdemliler tarafından veriliyordu ve 1650'lerin başlarında veba bu bölgeyi fena vurmuş ve bu kıdemlilerin çoğu ölmüştü. Fermat'ın kendisi de vebaya yakalandı ve 1653'de öldü.
Tabi ki Fermat Matematikle de meşgul olmuştu. Toulouse'ya gittikten sonra da Beaugrand ile matematik arkadaşlığını sürdürmüştür ancak burada yeni bir matematik arkadaşı daha kazanmıştır, o da Carcavi'dir. Carcavi de Fermat gibi bir meclis üyesidir, ancak onları yakınlaştıran ve aralarında paylaştıkları şey matematik olmuştur. Fermat Cercavi'ye matematik üzerine olan buluşlarını anlatmıştır.
1636'da Cercavi işi dolayısıyla Paris'e gitti ve Mersenne ve grubuyla temasa geçti. Carcavi'nin, Fermat'ın düşen nesneler ile ilgili olarak buldukları ile ilgili açıklamaları Mersenne'in büyük ilgisini çekti ve Fermat'a bir mektup yazdı. Fermat 26 Nisan 1636'da bu mektubu cevapladı ve Mersenne'e bazı hataları belirtmenin yanı sıra spiraller üzerindeki çalışmalarını ve Apollonius'un Plane loci adlı eserindeki düzenlemeleriyle ilgili açıklamaları da yazdı. Fermat'ın spiraller üzerindeki çalışmaları, serbest düşmede nesnenin izlediği yolun hesaba katılmasıyla motive edilmiş oldu ve Archimedes'in spirallerin altında kalan alanı hesaplamaya yönelik çalışmalarının genelleştirilmiş hallerinin metodlarını kullandı.
Bu ilk mektupta aynı zamanda Fermat'ın Mersenne'den, Paris matematikçilerine vermesini istediği iki tane maximum problemi de vardı. Bu Fermat'ın mektuplarının tipik bir özelliğiydi, kendisinin daha önceden bulmuş olduğu bir sonucu, başkalarının da bulmasını sağlamak için onlara meydan okuyacaktı...
Roberval ve Mersenne Fermat'ın bu ilk mektubunu ve diğerlerini gerçekten oldukça zorlayıcı buldular ve genellikle bilinen tekniklerle çözülemeyeceğini gördüler. Bunun üzerine Fermat'tan kullandığı metotlarını açıklamasını istediler ve Fermat Paris'teki matematikçilere "bir eğrinin , maximum, minimum ve teğetlerini belirleme metotları"'nı, kendisinin yeniden düzenlemiş olduğu Apollonius'un Plane loci adlı eserini ve yine kendisinin geometriye cebirsel yaklaşım -Introduction to Plane and Solid Loci yazılarını gönderdi.
Fermat, önemli matematikçiler arasında olma ününü çabuk yakalamıştı, ancak çalışmalarını yayınlama girişimi çoğu zaman başarısızlıkla sonuçlandı, çünkü Fermat hiç bir zaman çalışmalarının kusursuz bir forma sokulup tamamen bitirilmiş bir hale gelmesini istememişti. Yine de bazı metotları yayınlanmıştı, örneğin; Hérigone, en önemli çalışmalarından biri olan Cursus mathematicus adlı eserine Fermat'ın maximum ve minimum metotlarını eklemişti. Fermat ve diğer matematikçiler arasında giderek gelişen bu mektuplaşmalar malesef evrensel bir övgü bulamamıştır. Frenicle de Bessy, çözülmesini imkansız bulduğu Fermat'ın problemlerine karşı büyük bir kızgınlık duymuş ve bunun üzerine Fermat'a sert bir mektup yazmıştır. Fermat'ın bu mektuba detaylı bir açıklama vermesine karşılık yine de Frenicle de Bessy, Fermat'ın kendisini aldattığını düşünmüştür.
1643 - 1654 yılları arasındaki dönem Fermat'ın Paris'teki meslektaşlarıyla ilişkilerinin zayıfladığı dönemlerdendi. Tabi bunun bazı sebepleri vardı. Birincisi, Fermat'ın işlerinin yoğunluğunun onun matematiğe fazla zaman ayırmasını engellemesiydi. İkincisi ise 1648 yılından itibaren Toulouse'u ciddi bir biçimde etkileyen Fransa'daki sivil savaştı ve sonuncusu ise Toulouse'daki hayatta ve tabii ki Fermat'ın hayatında ölümcül izler bırakan 1651 vebası. Buna rağmen yine de Fermat bu dönemde sayılar teorisi üzerinde çalışmıştı. Fermat çoğunlukla sayılar teorisi üzerindeki çalışmalarıyla, özellikle Fermat'ın son teoremi (Fermat's Last Theorem ) ile bilinir. Bu teorem şu şekildedir; n>2 için xn + yn = zn eşitliğini sağlayan sıfırdan farklı x, y ve z tamsayıları yoktur.
Fermat, Diophantus'un Arithmetica adlı eserinin Bachet tarafından yapılan çevirisinin kenarına şunları yazdı; " Gerçekten de kaydadeğer bir ispat buldum ancak bunu kitabın kenarına sığdırmam mümkün değil". Bu köşe notu ancak Fermat'ın oğlu Samuel'in 1670 yılında Diophantus'un Arithmetica'sının Bachet çevirisinin babasının notlarını da içeren yeni bir baskısını yayınlamasından sonra bilinmeye başlandı.
Bugün kesin olmamakla birlikte Fermat'ın bu ispatının yanlış olduğuna inanılmaktadır. Fermat'ın bu iddiası 1993 Haziranında İngiliz matematikçi Andrew Wiles tarafından ispatlandı, ancak Wiles bir süre sonra bazı problemler ortaya çıkınca, ispatını bulduğuna dair iddiasını geri aldı. 1994 Kasımında ise tekrar ,şu an bilinen, ispatı bulduğunu açıkladı.
Fermat'ın Paris'li matematikçilerle mektuplaşması 1654 yılında Etienne Pascal'ın oğlu Blaise Pascal'ın, Fermat'tan "olasılık" hakkındaki fikirlerini açıklamasını rica eden bir mektup yazmasıyla tekrar başladı. Aralarındaki kısa mektuplaşma "olasılık teorisi" ni ortaya çıkardı ve bu sebeple bugün bu teoriye, bu iki matematikçinin ortaklaşa teorisi olarak bakılmaktadır. Durum her ne kadar böyle olsa da Fermat, konuyu "olasılık" tan "sayılar teorisi" ne çevirmeye çalıştı. Pascal bununla hiç ilgilenmedi ancak Fermat bunu farketmeden Carcavi'ye şunları yazdı; Dahiliklerine gerçekten büyük saygı duyduğum Bay Pascal'a fikirlerimi açıkladığım için çok büyük mutluluk duyuyorum. İkiniz de bu baskının sorumluluğunu üstlenebilirsiniz, kısa açıklamalar ve eklemler yapabilirsiniz. İşlerim çok yoğun olduğundan dolayı üzerimden büyük bir yük almış olursunuz. Ancak Pascal Fermat'ın bu çalışmalarını yine de yayınlamıyacaktı. Bunun üzerine Fermat çalışmalarının yayınlanması ile ilgili bu ani fikrinden yine vazgeçti. Fermat zor problemleriyle her zamankinden daha da ileri giderek; Fransız, İngiliz, Hollanda'lı ve hiçbir Avrupalı matematikçi tarafından çözülemeyen iki problem Bay Fermat tarafından ortaya atılmıştır.
Şeklinde bir açıklama yaptı. Fermat'ın problemleri bir çok matematikçinin Sayılar Teorisi ni önemli bir konu olarak düşünmesinden dolayı fazla ilgi görmedi. Ancak Bu problemlerden ikincisi (N bir kare değil iken Nx2 + 1 = y2 ifadesinin tüm çözümlerini bulunuz, şeklinde olan problem) Wallis ve Brouncker tarafından çözüldü ve bu çözüm sırasında continued fraction konusu daha da geliştirilmiş oldu. Frenicle de Bessy belki de Sayılar Teorisi'ne ilgi gösteren tek matematikçiydi, ancak ne var ki o da Fermat'a bu konuda destek olacak kadar bir matematik yeteneğine sahip değildi.
Fermat, "iki küp'ün toplamı bir küp olamaz" adında başka problemler de ortaya atmıştı. ( Bu, Fermat'ın Son Teoremi olarak bilinen teoremin özel bir halidir. Bu da Fermat'ın genel kural için bulmuş olduğu ispatın yanlış olduğunun farkına vardığını gösteriyor.) Bu problemler şu şekildeydi: x2 + 4 = y3 ifadesinin iki, x2 + 2 = y3 ifadesinin ise tek tamsayı çözümü vardır.
1656 yılında Fermat Huygens ile mektuplaşmaya başladı. Bu mektuplaşmalar zamanla Fermat'ın sayesinde Sayılar Teorisi'ne doğru yönlenmeye başladı. Bu Huygens'in ilgisini çekmiyordu ancak Fermat bu konuda ısrarlıydı ve 1659 yılında Carcavi vasıtasıyla Huygens'e "New Account of Discoveries in the Science of Numbers" adlı eseri yolladı ve daha önce yapmadığı kadar çok metodunu ortaya koydu.
Fermat, sonsuz iniş'in metotlarını açıkladı ve bunu 4k+1 formundaki asal sayıların iki kare toplamı olarak yazılabileceğini kanıtlamada kullandı. Farz edelim ki 4k+1 formundaki bir asal sayı iki kare toplamı olarak yazılamasın, öyleyse 4k+1 formunda iki kare toplamı olarak yazılamayan daha küçük bir sayı vardır. Fermat'ın bu mektupta açıklayamadığı ise küçük sayının daha büyük olan sayıdan nasıl üretileceğidir. Bir varsayım Fermat'ın bu adımı nasıl gerçekleştireceğini bilmediğini söylemektedir, ancak şu bir gerçektir ki Fermat'ın metodunu açıklamada düşmüş olduğu bu çıkmaz, matematikçilerin ilgisini konu üzerinde yitirmesine neden olmuştur. Ve bu Euler'in bu konudaki problemleri tekrar ele alıp bu boşlukları doldurmasına dek sürmüştür.
