C\K de bağlantılı olsun. Bu halde, bir f: KC fonksiyonu K üzerinde sürekliyse ve f 'nin K 'nin iç bölgesindeki sınırlaması olan f|int(K) holomorfsa; f, K üzerinde polinomlarladüzgün yakınsanabilir. (Burada int(K) ifadesi K kümesinin içini (iç bölge) temsil etmektedir.) Mergelyan teoremi, Stone-Weierstrass teoreminin ve Runge teoreminin en son gelişmiş ve genelleştirilmiş halidir. Bir klasik olan polinomlarla yaklaşma problemine tam bir çözüm vermektedir. C\K bağlantılı olmadığı zaman, başlangıçtaki yaklaşım problemindeki polinomlar yerini rasyonel fonksiyonlara bırakırlar. Bu daha ileriki rasyonel yaklaşım probleminin çözümünün önemli bir adımı da ayrıca S.N. Mergelyan tarafından 1952'de ileri sürülmüştür. Rasyonel yaklaşımdaki daha derin sonuçlar özellikle A.G. Vituşkin'e aittir. Mergelyan teoreminin tarihi 1951 iken, Weierstrass ve Runge teoremleri 1885'te ileri sürülmüştür. Aradaki bu uzun zaman farkı aslında çok da sürpriz değildir çünkü Mergelyan teoremi Mergelyan tarafından yaratılmış yeni güçlü metodları kullanmaktadır. Weierstrass ve Runge'den sonra özellikle Walsh, Keldysh, Lavrentiev gibi matematikçileri de içeren birçok matematikçi de aynı problem üzerinde çalışıyordu. Mergelyan tarafından ileri sürülen kanıtın metodu yapısaldır ve sonucun bilinen tek yapısal kanıtıdır. * Lennart Carleson, Mergelyan's theorem on uniform polynomial approximation, Math. Scand., V. 15, (1964) 167--175.--Düzgün polinom yaklaşımı üzerine Mergelyan teoremi. * Dieter Gaier, Lectures on Complex Approximation, Birkhäuser Boston, Inc. (1987), ISBN 0-8176-3147-X.--Karmaşık yaklaşım üzerine dersler. * W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill Book Co., New York, (1987), ISBN 0-07-054234-1.--Gerçel ve Karmaşık Analiz * A.G. Vitushkin, Half a century as one day, Mathematical events of the twentieth century, 449--473, Springer, Berlin, (2006), ISBN 3-540-23235-4/hbk.--Bir gün gibi yarım yüzyıl, Yirminci yüzyılın matematiksel olayları.
