Türkçe Bilgi logo TürkçeBilgi

Kupon Toplayıcısının Problemi

Kısaca: Kupon toplayıcısının problemi bir olasılık kuramı pratik problemi olarak "bütün kuponları topla ve ödün kazan" tipli yarışmalar için olasılık modeli içerir. Sorulan soru şöyle ifade edilebilir: ...devamı ☟

Kupon toplayıcısının problemi bir olasılık kuramı pratik problemi olarak "bütün kuponları topla ve ödün kazan" tipli yarışmalar için olasılık modeli içerir. Sorulan soru şöyle ifade edilebilir:
Yarışma için n sayıda kupon olduçu kabul edilsin ve kuponların geri koyup tekrar seçme ile toplandığı varsayılsın. Bütün n kuponları toplamak icin t sayıda örneklem deneysel seçiminden daha fazla sayıda seçim yapılması gerekliliğinin olasılığı nedir?"
Bu problemin matematik analizi gereken deneysel seçimin beklenen sayısı'nın O(n\log(n)) haddinde büyüyeceğini açıklamaktadır. Örneğin n=50 olursa bütün 50 kuponun toplanması için gereken örneklem yaklaşık sayısı 225 olmalıdır. Problemin anlaşılması Bu problemi çözmeye anahtar ilk düşük sayıda kuponun toplanması zamanının çok küçük olduğudur. Son birkaç kuponun toplanması ise, buna tam karşıt olarak, gayet çok zaman alması gerekmektedir. Örnegin 50 kuponlu bir problem için 49uncu kuponu topladıktan sonra 50. kuponu bulmak için asgari 50 deneysel seçim yapmak gerekmektedir. Beklenen zaman dönemini hesap edebilmek için toplam zamanı 50 zaman aralığına bölmek gerekmektedir. Çözüm

Bekleyişin hesaplanması

Tum n kuponu toplamak icin gerekli zaman T olarak ve ti i-1 kupon toplandıktan sonra iinci kuponu toplamak için gerekli zaman olduğu kabul edilsin. T ve ti rassal değişkenler olarak görülebilir. i-1 kupon elde bulunduğu verilmiş ise bir yeni kuponu toplama olasılığı 'pi = (n-i+1)/n olduğu gözümlenebilir. Bundan dolayı ti beklenen değeri 1/pi olan bir geometrik dağılım gösterir. beklenen değerlerin doğrusallığı dolayısıyla şu yazılabilir: : \begin \operatorname(T)& = \operatorname(t_1) + \operatorname(t_2) + \cdots + \operatorname(t_n) = \frac + \frac + \cdots + \frac \\ & = \frac + \frac + \cdots + \frac = n \cdot \left(\frac + \frac + \cdots + \frac\right) \, = \, n \cdot H_n. \end Burada Hn bir harmonik sayı olur ve harmonik sayıların "asimptotik" özelliğini kullanarak, şu ifade bulunur: : \operatorname(T) = n \cdot H_n = n \ln n + \gamma n + \frac1 + o(1), \ \ \text \ n \to \infty, Burada \gamma \approx 0.5772156649 Euler–Mascheroni sabiti olur. Şimdi Markov eşitsizliği kullanarak istenilen olasılık sayısı için sınırlar konulur: :\operatorname(T \geq c \, n H_n) \le \frac1c.

Varyansın hesaplanması

ti rassal degişkenlerinin bağımsızlığı özelliği kullanılarak şu elde edilir: : \begin \operatorname(T)& = \operatorname(t_1) + \operatorname(t_2) + \cdots + \operatorname(t_n) \\ & = \frac + \frac + \cdots + \frac \\ & \leq \frac + \frac + \cdots + \frac \\ & \leq n^2 \cdot \left(\frac + \frac + \cdots \right) = \frac n^2 \leq 2 n^2, \end Burada son eşitlilik baz problem olarak anılan Riemann zeta fonksiyonunun değeridir. Şimdi istenilen olasılık değerine sınırlar koymak için Çebişev eşitsizliği kullanılır: :\operatorname\left(|T- n H_n| \geq c\, n\right) \le \frac.

Kuyruk kestirimleri

Diğer bir yaklaşım kullanılarak başka bir yukarı sınır ifadesi de elde etmek mümkündür: İlk r sayıda deneysel seçimde i-inci kuponun ele geçmeme olayı _i^r ile ifade edilsin. O zaman : \begin P\left _i^r \right = \left(1-\frac\right)^r \le e^ \end Böylece, r = \beta n \log n, için şu elde edilir P\left _i^r \right \le e^ = n^. : \begin P\left T > \beta n \log n \right \le P \left \bigcup_i _i^ \right \le n \cdot P _1 \le n^ \end

Olasılık üretici fonksiyonları ile bağlantı

Kupon toplayıcısının problemini çözmek için üretici fonksiyon yaklaşımı da kullanılabilir. Ayrıca bakınız * Watterson kestirmcisi * Paul Erdős ve Alfréd Rényi, "On a classical problem of probability theory (Olasılık kuramında bir klasik problem)", Magyar Tud. Akad. Mat. Kutato Int. Kozl, 1961. Dış bağlantılar * İngilizce Wikipedia'da Coupon collector's problem maddesi (Erişim tarihi: 30.8.2009) * Kupon toplayıcı problemi Wolfram gösterimler projesi içeriğinde Mathematica komputer paketi uygulaması (Erişim tarihi: 30.8.2009) * Kupon toplayıcı problemi için kuçuk bir Java applet (Erişim tarihi: 30.8.2009) * Bir kupon toplayıcı kaç tane tek, çift, üçlü vb. beklemelidir. Doron Zeilberger tarafından küçük bir not (Erişim tarihi: 30.8.2009)

Kaynaklar

Vikipedi

FreecouponsAZ - 5 ay önce
Güvenilir kuponlar ve promosyon kodları bulmak bir çöpçü avı gibi hissetmemelidir. Bu nedenle, anlaşma bulma sürecini basitleştirmek ve sevdiğiniz marka ve ürünlerden tasarruf etmenize yardımcı olmak için FreeCouponsAZ'ı yarattık. ABD'deki alışveriş yapanlara özel, tamamen ücretsiz, güncel ve kullanıcı dostu bir kupon kaynağı sağlamaya kararlıyız.

Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.