Kısaca: Hamilton yollarının bulunması NP-tam bir işlemdir. ...devamı ☟
Hamilton yollarının bulunması NP-tam bir işlemdir.
Çözüm fikri
Hampath’in NP bir problem olduğu zaten bilinmektedir. 3SAT HAMPATH indirgemesinin doğrulanması durumunda iddia ispatlanmış olacaktır.
İspat
Her 3cnf formülü için, s ve t düğümleri ile yönlü graf G’nin nasıl oluşturulacağı gösterilecektir. Eğer şartları sağlıyorsa, s ve t arasında bir hamilton yolu bulunmaktadır. k adet clause’dan oluşan 3cnf formülü : Denklemde yer alan her p, q, r ; xi veya xi’ olmak üzere ’nın l adet değişken içerdiği varsayılacak olursa denklemde yer alan değişkenler : x1 … xl ’nın graf G’ye dönüştürülmesi işleminde; graf G, ’nın içerisindeki değişkenler ve clause’lardan oluşacaktır. Her değişken xi, aşağıdaki illüstrasyondada olduğu gibi yatayda dizilmiş düğümlerden oluşan elmas şeklindeki bir yapı ile temsil edilecektir. Daha sonra, yatay sırada gözüken düğümlerin sayısı belirlenecektir. Değişken xi’nin elmas içerisinde tasvir edilmesi ’daki her clase’un tek bir düğüm ile tasvir edilmesi Aşağıdaki figür, G’nin global yapısını göstermektedir. İllüstrasyon, değişkenlerin clause’lar ile olan ilişkileri haricinde G’nin tüm elemanları ve ilişkilerini göstermektedir. Graf G’nin Global Yapısı Ardından, değişkenleri temsil eden elemanlarla clause’ları temsil eden düğümlerin nasıl ilişki içerisinde oldukları gösterilecektir. Yatay sırada 3k+1 adet düğüm ve bunlara ilavaten iki adet başta ve sonda bulunan elmasa dahil düğüm bulunmaktadır. Bu düğümler, her clause için bitişik düğümler oluşturacak şekilde gruplanacak ve bu çiftlerden sonra ekstra ayırıcı bir düğüm bulunacaktır. Tıpkı şekildede görüldüğü gibi: Elmas yapısında yer alan yatay düğümler Eğer değişken xi, clause cj içerisinde yer alıyorsa; i. değişkendeki j. çift ile j. clause ilişki içerisindedir. Clause cj nin xi yi içermesi durumundaki ilave kenarlar Eğer xi’, clause cj içerisinde yer alıyorsa; i. değişkendeki j. çift ile j. clause ilişki içerisindedir. Clause cj nin xi‘ yi içermesi durumundaki ilave kenarlar Her clause’da her xi veya xi’ nin var oluşuna göre eklenecek kenarlar ile, G’nin yapısı tamamlanmış olacaktır. Yol s’den başlayacak, her elmasa sırasıyla uğrayacak t’de son bulacaktır. Elmasta izlenecek yolun bulunması için, ’yı sağlayan değerlerden belirlenmek üzere yol ya soldan sağa doğru zig-zag yapacak ya da sağdan sola doğru zag-zig yapacaktır. Şayet xi DOĞRU olarak belirlenmişse yol elmas boyunca zig-zag yapacak, YANLIŞ olarak belirlenmişse yol elmas boyunca zag-zig yapacaktır. Her iki ihtimalde takip eden figürde gösterilmiştir. Elmas boyunca zig-zag veya zag-zig yapılması denklemde şartları sağlayan değerler tarafından belirlenmektedir. Böylelikle arzu edilen Hamilton yolu oluşturulmuş olur. Geriye gösterilmesi kalan tek şey Hamilton yolunun normal olmak zorunda olduğudur. Normallik sadece bir yol clause’a bir elmastan girip, clause çıkışında farklı bir elmasa gidiyorsa başarısız olacaktır. Tıpkı illüstrasyonda betimlendiği gibi: Bu Durum Gerçekleşemez Yol a1’den C’ye gider, ancak aynı elmastaki a2’ye dönmesi gerekirken, farklı bir elmastaki b2’ye döner. Eğer bu durum olursa, ya a2 ya da a3 ayırıcı düğüm olmak zorundadır. Şayet a2 ayırıcı düğüm olsaydı, a2’ye giren kenarlar yalnızca a1 ve a3’ten olurdu. Eğer a3 ayırıcı düğüm olsaydı,a1 ve a2 aynı clause çifti içerisinde yer alırdı. Bundan ötürüde a2’ye giren kenarlar yalnızca a1, a3 ve c’den olabilirdi. Her iki durumdada, yol a2 düğümünü içermezdi. Yol a2’ye c veya a1’den giremez çünkü yol bu düğümlerden başka bir yere gitmektedir. Yol a2’ye a3’ten giremez çünkü a3, a2’nin işaret ettiği tek mevcut düğüm. Bu yüzden, yol a2’den a3 vasıtasıyla çıkmak zorundadır. İş bu nedenle, hamilton yolu normal olmak zorundadır. Bu indirgeme açık olarak polinomsal zamanda işler ve ispat tamamlanmış olur.
