Türkçe Bilgi logo TürkçeBilgi

Grandi Serisi Toplamı

Kısaca: == Kararlılık ve doğrusallık ==1 − 1 + 1 − 1 + … serisine 1⁄2 değerinin atanabilmesini olanaklı kılan oynamalar* İki seriyi terim bazında toplamak ya da çıkarmak* Serinin her terimini bir sayıyla çarpmak* Terimlerin yerlerini toplamı etkilemeyecek biçimde "değiştirmek"* Serinin başına yeni bir terim ekleyerek toplamı artırmakolarak sıralanabilmektedir. ...devamı ☟

Kararlılık ve doğrusallık

1 − 1 + 1 − 1 + … serisine 1⁄2 değerinin atanabilmesini olanaklı kılan oynamalar * İki seriyi terim bazında toplamak ya da çıkarmak * Serinin her terimini bir sayıyla çarpmak * Terimlerin yerlerini toplamı etkilemeyecek biçimde "değiştirmek" * Serinin başına yeni bir terim ekleyerek toplamı artırmak olarak sıralanabilmektedir. Bu oynamalar tüm yakınsak seriler için doğru sonuçlar üretmektedir ancak 1 − 1 + 1 − 1 + … serisi yakınsak değildir. Öte yandan, temel mantığı bu tür oynamalara dayanan ve Grandi serisine bir değer atayabilen birçok toplam yöntemi vardır. Bunlardan en basitleri kuşkusuz

Cesàro toplamı

 ve

Abel toplamı

dır. Cesàro toplamı Iraksak serilerin toplamına ilişkin ilk kalıcı yöntem 1890 yılında Ernesto Cesàro tarafından ortaya atılmıştır. Leibniz'in olasılıkçı yaklaşımına benzeyen bu yöntem bir serinin toplamını o serinin kısmi toplamlarının ortalaması olarak hesaplamaktadır. Yapılan işlem, her n değeri için σn ortalamasını hesaplamak ve n sonsuza giderken bu Cesàro ortalamalarının limitini almaktır. Grandi serisinin aritmetik ortalamalar serisi :1, 1⁄2, 2⁄3, 2⁄4, 3⁄5, 3⁄6, 4⁄7, 4⁄8, … biçiminde ifade edilebilir. Burada, çift n değerleri için \sigma_n=\frac12 ve tek n değerleri için \sigma_n=\frac12+\frac eşitlikleri geçerlidir. Bu seri 1⁄2'ye yakınsadığından Σak

Cesàro toplamı

da bu değere eşit olur. Başka bir deyişle, 0, 1, 0, 1, … serisinin Cesàro limiti 1⁄2'ye eşittir. 1 + 0 − 1 + 1 + 0 − 1 + … serisinin

Cesàro toplamı

2⁄3'tür. Bu, bir serinin

Cesàro toplamı

nın seriye sonsuz çoklukta 0 ve ayraç ekleyerek değiştirilebileceğini göstermektedir. Abel toplamı Ölçeklerin ayrılması φ(0) = 1 olmak üzere bir φ(x) işlevi tanımlı, φ'nın +∞'daki limiti 0 ve bu işlevin türevinin integrali (0, +∞) aralığında tanımlıysa Grandi serisinin φ-toplamı tanımlıdır ve 1⁄2'ye eşittir. :S_\varphi = \lim_\sum_^\infty(-1)^m\varphi(\delta m) = \frac12 φ üçgensel ya da üstel bir işlev yerine konularak Cesaro ve Abel toplamlarına dönülebilmektedir. φ'nın integralinin sürekli tanımlı olduğu varsayılıyor ise bu önerme, ortalama değer teoremi kullanılarak ve toplam bir integrale çevrilerek kanıtlanabilir. :\begin S_\varphi & = &\displaystyle \lim_\sum_^\infty\left - \varphi(2k\delta-\delta)\right \\[1] & = & \displaystyle \lim_\sum_^\infty\varphi'(2k\delta+c_k)(-\delta) \\[2] & = & \displaystyle-\frac12\int_0^\infty\varphi'(x) \,dx = -\frac12\varphi(x)|_0^\infty = \frac12 \end Euler dönüşümü ve analitik süreklilik Borel toplamı Grandi serisinin

Borel toplamı

 1⁄2'ye eşittir. Bunun nedeni, :1-x+\frac-\frac+\frac-\cdots=e^ ve :\int_0^\infty e^e^\,dx=\int_0^\infty e^\,dx=\frac12 eşitliklerinin sağlanıyor oluşudur.

Notlar

* * * * * * * *

Kaynaklar

Vikipedi

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.