Fermi-Dirac Istatistikleri

Fermi-Dirac istatistikleri (F-D istatistikleri) fizik biliminin bir parçası olarak Pauli dışlama prensibine uyan eş parçacıkları içeren sistemdeki bir parçacığın enerjisini tanımlar. Birbirlerinden bağımsız olarak bunu keşfeden Enrico Fermi ve Paul Dirac'tan sonra adlandırılmıştır. F-D istatistikleri termal dengedeki sistemdeki yarım tam sayı spine sahip eş parçacıklara uygulanır.Ek olarak, sistemdeki parçacıklarının gözardı edilebilir karşılıklı etkileşimlerin olduğu kabul edilmektedir.Bu çok parçacıklı bir sistemin tek tek parçacıkların enerji seviyesi ile tanımlanmasına imkan kılar.Sonuç Fermi-Dirac parçacıklarının bu enerji seviyeleri üzerine dağılımını ve sistemin özelliklerini oldukça etkileyen iki farklı parçacığın aynı seviyeye sahip olmasını içerir.Fermi-Dirac istatistikleri tam sayı] spinli parçacıklara uygulanabildiğinden bu parçacıklar fermiyon olarak adlandırılır.En genel olarak 1/2 spine sahip fermiyon olan elektrona uygulanır.Fermi-Dirac istatistikleri, mekanik ilkelerini kullanarak daha genel bir alan olan istatistiksel mekanik alanının içerisindedir. Tarihçe 1926'da Fermi-Dirac istatistikleri bulunmadan önce elektronun davranışların çelişkili fenomenlerden dolayı tahmin etmek güçtü.Örneğin, oda sıcaklığındaki metallerin elektronik kapasitesi elektrik akımındakinden 100 kat daha az elektronmuş gibi gözüküyordu.Ayrıca oda sıcaklığında metallere güçlü elektrik alan uygulayarak elde edilen emisyon akımının neredeyse sıcaklıktan bağımsız olması çok anlaşır bir durum değildi. O zamanlar ki metallerin elektron teorisindeki zorluklarının temel sebebi elektronların(klasik istatistiğe göre)hepsinin denk olmasıdır.Başka bir deyişle her bir elektrona Boltzmann sabiti k ile orantılı olarak eşit miktarda ısı dağıldığını kabul ediliyordu.Bu istatistiksel problem F-D istatistikleri bulunana kadar çözümsüz kaldı. F-D istatistiklerini ilk olrak 1926'da Enrico Fermi ve Paul Dirac tarafından yayınlandı.Başka bir kaynağa göre ise ilk olarak 1925'te Pascual Jordan tarafından aynı istatistiğin geliştirilerek Pauli istatistiği olarak adlandırıldığını belirtir.Ancak Dirac'a göre ilk olarak Fermi tarafından çalışıldığını ve Dirac'ın Feröi istatistikleri olarak adlandırıp karşılık gelen parçacıklara fermiyon adı verdiği bilinir. F-D istatistikleri 1926'da Fowler bir yıldızın bir beyaz cüceye çarpışını açıklarken uygulamıştır.1927'de Sommerfeld bunu metaldeki elektronlara uygulamış ve 1928'de Fowler ve Nordheim metallerin alan elektron emisyonuna uygulamışlardır. Fermi-Dirac dağılımı Eş fermiyonlardan oluşan bir sistemdeki tek-parçacık seviyesi i 'deki ortalama fermiyon sayısı

Fermi-Dirac dağılımı

ile belirlenir. :

\bar_i = \frac + 1}

k Boltzmann sabiti, T mutlak sıcaklık,

\epsilon_i \

tek-parçacık seviyesi

i

'nin enerjisi ve

\mu\

kimyasal potensiyeldir.T=0 olduğunda kimyasal potensiyel, Fermi enerjisine eşittir.Yarıiletkenlerdeki electronlarda

\mu\

de Fermi derecesi olarak adlandırılır. F-D dağılımı sistemdeki fermiyon sayısı çok yüksek olduğunda geçerlidir, bu sebepten sisteme eklenen bir fermiyonun

\mu\

'ye olan etkisi gözardı edilebilir.F-D dağılımı Pauli dışlama prensibi kullanılarak oluşturulduğundan bunun sonucu olarak

0 < \bar_i < 1

. Image:FD e mu.jpg|Enerji bağımlılığı. Yüksek T 'de daha kademeli. olduğunda.

\mu \

'da azalma düşük T değerlerinde görülmemektedir. Image:FD kT e.jpg|Sıcaklık bağımlılığı

\epsilon > \mu \

için. (Büyütmek için resimlerin üzerine tıklayınız.) Enerjiye göre parçacıkların dağılımı Yukarıdaki dağılım, aynı anda aynı seviyeye iki farklı fermiyon sahip olamayacağından eş fermiyonların tek-parçacık enerji seviyelerine göre dağılımını göstermektedir.F-D dağılımı kullanılarak aynı enerjiye sahip birden fazla fermiyonun olduğu enerjiye göre bir dağılım da bulanabilir.Seviyelere göre değilde enerjiye göre yapılan bu dağılımda bazen F-D dağılımı olarak adlandırılır, ancak bu makale de bu adlandırma ile o kastedilmemektedir.

\epsilon_i \

enerjisine sahip Ortalama fermiyon sayısı

\bar_i \

'nin degeneracy

g_i \

ile çarpılması ile bulunur(örneğin

\epsilon_i \

enerjisine sahip olan seviye ), Eq. (1)'deki,

n(\epsilon) \,

and

n_s \,

sırasıyla

\bar_i

and

\bar(\epsilon_i)

bu makalede tekamül eder. :

\begin  \bar(\epsilon_i) & = g_i \ \bar_i \\  & = \frac + 1} \\  \end

g_i \ge 2 \

olduğunda,

\ \bar(\epsilon_i) > 1

mümkündür,

\epsilon_i \

enerjiye sahip fermiyon birden fazla seviyeye sahip olabilir. Sürekli gibi olan

\epsilon \

enerji seviye yoğunluğu

g( \epsilon ) \

ile değiştirildiğinde(şöyle ki birim enerji aralığında birim hacimdeki seviye sayısı ) ,birim enerji aralığında birim hacimdeki ortalama fermiyon sayısı: :

\bar  }(\epsilon) = g(\epsilon) \ F(\epsilon)

F(\epsilon) \

Fermi fonksiyonu olarak bilinir ve

\bar_i

F-D dağılımı için kullanılan fonksiyon ile aynıdır. :

F(\epsilon) = \frac + 1}

böylece :

\bar  }(\epsilon) = \frac + 1}

. Kuantum ve klasik rejimler Maxwell-Boltzmann istatistikleri'in F-D istatistiklerine yakınsama olarak kullanılabileceği klasik rejimde parçacığın konum ve momentum için Heisenberg belirsizlik ilkesinin limitlerine yaklaşmayan durumları ele alır.Bu yaklaşımda,parçacığın ortalama de Broglie dalgaboyu

\bar

dan çok daha büyük, ortalama ara parçacık ayrımı

\bar

denk gelen parçacığın konsantrasyonuna sahip olduğu durumlarda klasik durumun olduğu gösterilebilir. :

\bar \ \gg \ \bar \ \approx \ \frac}

h

Planck sabiti ve

m

parçacığın kütlesidir. T=300K'de (ortalama olarak oda sıcaklığı)tipik bir metale elektron yüklemede sistem klasik rejimden oldukça uzaktadır, çünkü

\bar \approx \bar/25

.Bu durum elektronun küçük kütlesi ve metale yüklenen elektronların konsantrasyonun yüksek olmasından kaynaklanır.Bu durum tipik bir metale elektron yüklemede F-D istatistiklerine ihtiyaç doğurur. Klasik rejimde olmayan başka bir örnekte bir beyaz cüceye çarmış olan bir yıldızın elektronlarını içeren sistemlerdir.Beyaz cücenin sıcaklığının (yüzeyde yaklaşık T=10000K) yüksek olmasına, elektron konsantrasyonun yüksek ve elektronun kütlesinin çok küçük olmasına rağmen klasik bir yakınsama öngörür ve bu durumda yine F-D istatistiklerine ihtiyaç duyulur. Fermi-Dirac dağılımının iki çıkarımı ==

Kanonik dağılımdan başlayarak

Termal dengede ve içkin etkileşimleri göz ardı edilebilir N tane eş fermiyondan oluşan bir sistem varsayın.İçkin etkileşimler göz ardı edilebildiğinden dolayı, R seviyesine sahip ait E_R enerjisine sahip çok parçacıklı sistemin energisi tek tek parçacıkların energilerinin toplamı olarak ifade edilebilir. :

E_R = \sum_ n_r \epsilon_r \;

n_r

doluluk sayısı denir ve

\epsilon_r \;

energiye sahip

r

seviyesindeki parçacık sayısıdır. Tolam olası tüm

r

seviyelerindeki parçacıklarının enerjilerinin eklenmesiyle bulunur. Çok parçacıklı sistemin

R

seviyesinde olma ihtimali düzgelenmiş kanonik dağılım ile ifade edilir. :

P_R = \frac  }    e^} }

\beta\;

= 1/kT

k

isBoltzmannsabiti,

T

mutlak sıcaklık, e^{$\scriptstyle -\beta E_R$} Boltzmann factörü denir ve tolam olası tüm

r

seviyelerindeki parçacıklarının enerjilerinin eklenmesiyle bulunur.. Ortalama doluluk sayısı

n_i \;

değeri: :

\bar_i \ = \ \sum_ n_i \ P_R

Çok parçacıklı sistemin

R

seviyesi tek-parçacıklı sistemin seviyelerinin parça doluluğu ile belirtilebilir, işöyle ki

n_1,\, n_2,\, ... \;,

belirterek, böylece :

P_R = P_ = \frac }                n_r = N \;

. Toplam serileri tekrar ayarlanırsa, :

\bar_i = \frac   ^1 n_i \ e^ \quad \sideset}\sum_ e^ }    ^1 e^ \qquad \sideset}\sum_ e^ }

Toplam sembolündeki

^

toplamanın

n_i

üzerinden olmadığını belirtir and toplam parçacık sayısınının

N_i = N-n_i

ile değişimini belirtir. Dikkat edilmelidir ki

\Sigma^

N_i

sınırlandırması ile hala

n_i

bağlıdır, çünkü

n_i=0

bir durumdur ve

\Sigma^

N_i=N

ile işlenir, başka bir durumda ise

n_i=1

\Sigma^

N_i=N-1

ile işenir;notasyonu sadeleştirmek ve

\Sigma^

'nin

N-n_i

üzerinden hala

n_i

dayandığını açıkça belirtmek için şunu tanımlayalım :

Z_i(N-n_i) \equiv \ \sideset}\sum_ e^ \;

\bar_i

için önceki ifade yeniden yazılabilir ve

Z_i

üzerinden toplanabilir , :

\begin  \bar_i \ & = \frac ^1 n_i \ e^ \ \ Z_i(N-n_i)}                 ^1 e^ \qquad  Z_i(N-n_i)} \\ \\ & = \ \frac \; Z_i(N-1)} \; Z_i(N-1)} \\ & = \ \frac  +1} \quad .  \end

Bir sonraki yaklaşım

Z_i(N)/Z_i(N-1)

yerine bir ifade koymak için kullanılacaktır. :

\begin  \ln Z_i(N- 1) & \simeq \ln Z_i(N) - \frac   \\ & = \ln Z_i(N) - \alpha_i \; \end

\alpha_i \equiv \frac   \ .

Eğer parçacık sayısı

N

yeterince büyük ise sisteme bir parçacık eklendiğinde kimyasal potansiyel

\mu\;

'deki değişim çok küçük olacaktır, ve

\alpha_i \simeq - \mu / kT \ .

.Her iki tarafın ters logaritmasını alıp

\alpha_i \,

için yerine koyalım ve tekrar düzenleyelim :

Z_i(N) / Z_i(N- 1) = e^ \,

. Yukarıdaki ifadeyi

\bar _i

için denklemde yerine koyalım ve

1/kT

\beta\;

yerine koymak için

\beta\;

önceki tanımı kullanalım .Sonuç Fermi-dirak dağılımı olacaktır. :

\bar_i = \ \frac  +1}

Langrange çarpanları ile çıkarma

Sistemin çokluğu incelenerek ve Lagrange çarpanları incelenerek doğrudan bir sonuç elde edilebilir. Toplam n_i tane parçacık içeren ve her biri ε_i enerji seviyelerine sahip i indeksiyle işaretlenmiş seviyeler olduğunu varsayalım. Varsayalım her biri g_i hepsi aynı enerjiye sahip ayrık ve ayrıştırılabilir alt seviyelere sahip olsun.Örneğin, iki parçacık farklı momentaya sahip olduklarında bunlar ayrıştırılabilirler, ancak aynı enerjiye sahip olabilirler.i 'ye karşılık gelen g_i değeri eşenerjilikolarak adlandırılır. Pauli dışlama ilkesi böyle her bir alt seviyeye sadece bir fermiyonun atanabileceğini belirtir. n_i tane parçacığın g_i enerji alt seviyelerine kaç farklı yolla dağıtılabileceğini binom katsayısı ile bulunur.Binom katsayısının kombinaysonal halini kullanarak :

w(n_i,g_i)=\frac \ .

Atanan n_i sayısı kümesi olan yol sayısı her bir enerji seviyesinin toplandığı değişik yolların çarğımı olarak anlaşılabilir: :

W = \prod_i w(n_i,g_i) = \prod_i \frac.

Maxwell-Boltzmann istatistikleri}}nin çıkarımında da aynı süreç izlenebilir.Amacımız sabit parçacık sayıyı ve sabit enerji için W 'nin enbüyük değerini verecek n_i sayıları kümesini bulmak.Sonucumuzu [[Lagrande çarpanlarını ile bir fonksiyon yaratarak sınırlandırıyoruz: :

f(n_i)=\ln(W)+\alpha(N-\sum n_i)+\beta(E-\sum n_i \epsilon_i).

Faktoriyeller için Stirling yakınsamasını kullanıp n_i göre türev almak ve sonucu sıfıra eşitleyerek n_i için çözül yapılırsa Fermi-Dirac yığın sayısı elde edilir: :

n_i = \frac+1}.

Termodinamik kullanılarak β = 1/kT (k Boltzmann sabiti ve Tsıcaklık ve, μ kimyasal potansiyel) olduğu gösterilebilşir.Sonuç olarak bir seviyenin olasılığı: :

\bar_i = \frac = \frac+1}.

ayrıca bakınız * Fermi enerji * [[Maxwell-Boltzmann istatiskleri}} * [[Bose-Einstein istatistikleri}}

References

# # #

Kaynaklar

Vikipedi

Fermi-Dirac Istatistikleri

Fermi-Dirac dağılımı

Kanonik dağılımdan başlayarak

Langrange çarpanları ile çıkarma

References

Kaynaklar

Paul Dirac

Fermi seviyesi

Serbest elektron modeli

Enrico Fermi

Fermiyon

Bozon

Atomaltı parçacık

Matematiksel fonksiyonların listesi

Fermi-Dirac Istatistikleri