1 1 1 1 1. (an) = (¾) = (1, ¾ , ¾ ,..... ¾ ,...) ® 0’dır. n 2 3 n
2n+1 3 5 7 2n+1 2. (bn) = (¾¾) = (¾ , ¾ , ¾ ,...., ¾¾ ,...) ® 2’dir. n+1 2 3 4 n+1
3. (cn) = (-1)nn = (-1, 2, -3, 4, ....., (-1)nn, .....)
4. (dn) = (2) = (2, 2, 2, ......., 2, ......) ® 2
Birinci dizi monoton azalan, ikinci dizi monoton artan dizilerdir. Her n için an>an+1 ise dizi monoton azalandır. an
Bir dizinin yakınsaklığı: Genel terimin limiti belli bir sayı olan dizilere yakınsak dizi denir. Belli bir limiti yoksa veya birden fazla limiti varsa bu diziye ıraksak dizi denir. 1. ve 2. örnekteki dizilerin limitleri 0 ve 2 olduğundan yakınsaktırlar. 3. örnekteki dizinin içinde iki dizi vardır. Bunlar (-1, -3, -5, ... (-1)n n, ...) ve (2,4,6,8, ... (-1)n n, ...) dizileridir. Her iki dizinin de belli bir limiti yoktur. Bu dizi ıraksaktır. 4. örnekteki diziye sabit dizi denir. Sabit dizilerde her n için an = an+1’dir. ((-1)n) dizisi de ıraksaktır. Bu dizi (-1, 1, -1, 1, -1, 1 ...) şeklindedir. İki farklı limiti vardır. Biri (-1) sabit alt dizisinin limiti -1’dir. Diğeri (+1) sabit alt dizisinin limiti 1’dir. Genel terimi (-1)n+(-1)n+1 olan dizi de sabit (0) dizisidir. Sabit dizilerin tek limiti olduğundan yakınsaktır.
Dizilerin birçok alt dizileri de vardır. Dizilerin dört işlemi tanımlanmıştır. Bir dizinin bir sayı ile çarpımı, dizinin bütün terimleriyle çarpımı demektir. Aritmetik ve geometrik diziler, çok kullanılan iki özel dizidir.
Aritmetik dizi: (a,a+r, a+2r, a+3r, ...) şeklinde dizidir. İlk terimi a, r ortak farkı sıfırdan farklı bir reel sayı olmak üzere genel terimi:
an = a+(n-1) r
olan diziye aritmetik dizi denir.