De Moivre Formülü

Kısaca: de Moivre formülü, 18. yüzyıl Fransız matematikçisi Abraham de Moivre anısına isimlendirilmiş ve herhangi bir karmaşık sayı (özellikle herhangi bir gerçel sayı ''x'' ve herhangi bir tamsayı ''n'') için şu ifadenin geçerli olduğunu önerir: ...devamı ☟

De Moivre formülü
De Moivre Formülü

de Moivre formülü, 18. yüzyıl Fransız matematikçisi Abraham de Moivre anısına isimlendirilmiş ve herhangi bir karmaşık sayı (özellikle herhangi bir gerçel sayı x ve herhangi bir tamsayı n) için şu ifadenin geçerli olduğunu önerir: :\left(\cos x+i\sin x\right)^n=\cos\left(nx\right)+i\sin\left(nx\right).\, Bu formülün önemi (burada önünde i sanal birim ifade ile verilmiş olan) karmaşık sayılar ile trigonometri arasındaki bağlantıyı açıklamasındadır. Bu formülde "cos x + i sin x" bazan "cis x" olarak kısaltılabilir. Formülün sol tarafi binom teoremi kullanarak açılıp gerçel kısmına ve sanal kısmına yeni şekil verilirse, cos(nx) ve sin(nx) için yalnızca sin(x) ve cos(x) kullanan uygulamalı matematikde çok önemli ifadeler elde edilir. Bu formülün diğer bir uygulaması ise De Moivre sayısı adı verilen birimin köklerini (yani 1in köklerini) karmaşık sayılar (yani zn = 1 ise zkarmaşık sayıları) ile ifade edilmesini sağlamasıdır Tarihi olarak başka şekilde isbat edilmekle beraber, de Moivre'in formülü Euler'in formülünü kullanarak hemen şöyle isbat edilebilir: :e^ = \cos x + i\sin x\, ve üstel yasaya göre :\left( e^ \right)^n = e^ .\, O halde Euler'in formülü ile, :e^ = \cos(nx) + i\sin(nx)\,. olur. İndüksiyon ile ispat Üç değişik hal ele alınabilir: Eğer n > 0 ise, matematiksel endüksiyon ile şöyle ilerliyebiliriz. Eğer n = 1 ise, sonuç açıkca geçerlidir. Hipotezimiz icin, sonucun bir tamsayı olan k için geçerli olduğunu varsayalım. Yani varsayımız şu olsun: :\left(\cos x + i \sin x\right)^k = \cos\left(kx\right) + i \sin\left(kx\right). \, Şimdi n = k + 1 halini ele alalim: : \begin \left(\cos x+i\sin x\right)^ & = \left(\cos x+i\sin x\right)^ \left(\cos x+i\sin x\right)\\ & = \left + i\sin\left(kx\right)\right \left(\cos x+i\sin x\right) &&\qquad \mbox\\ & = \cos \left(kx\right) \cos x - \sin \left(kx\right) \sin x + i \left \left(kx\right) \sin x + \sin \left(kx\right) \cos x\right\\ & = \cos \left \left(k+1\right) x \right + i\sin \left \left(k+1\right) x \right &&\qquad \mbox \end Bundan, eğer sonucun, n = k için geçerli olması halinde, n = k + 1 için de geçerli olduğu anlamına varılır. Öyle ise, matematik endüksiyon prensipine göre, tüm pozitif tamsayılar için (yani n≥1 için) bu sonuç geçerli olur. Eğer n = 0 ise, \cos (0x) + i\sin (0x) = 1 + i0 = 1 olduğu için ve konvansiyonel olarak z^0 = 1 olarak verildiği için, bu formül geçerlidir. Eğer n < 0 ise, n = -m olduğu zaman bir pozitif tamsayı m ele alsın. O halde : \begin \left(\cos x + i\sin x\right)^ & = \left(\cos x + i\sin x\right)^\\ & = \frac}\\ & = \frac\\ & = \cos\left(mx\right) - i\sin\left(mx\right)\\ & = \cos\left(-mx\right) + i\sin\left(-mx\right)\\ & = \cos\left(nx\right) + i\sin\left(nx\right). \end Böylelikle, teorem nin tüm tamsayı değerleri için geçerlidir. Kosinus ve sinus için tek tek formüller Karmaşık sayıların eşitliğini gösterdiği için bu denklemin hem gerçel kısımları hem de sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşit olmalıdır. Eğer x (ve bundan dolayı \cos x ve \sin x) gerçel sayılar ise, o zaman bu kısımların özdeşlikleri (taraf değiştirilerek) şöyle yazılabilir: :\begin2 \cos(nx)&=\sum_^}(-1)^i(\cos)^(\sin)^& &=\sum_^}(\cos)^((\cos)^2-1)^i\\ \sin(nx)&=\sum_^}(-1)^i(\cos)^(\sin)^& &=(\sin)\sum_^}(\cos)^((\cos)^2-1)^i\\ \end Bu denklemler xin karmaşık değerleri için geçerlidir. Buna neden, her iki tarafın da x in holomorf fonksiyonları olması ve gerçel eksende birbiriyle çakışan bu şekildeki iki fonksiyonun karmaşık düzeyde de mutlaka birbiriyle çakışması gereğidir. Bu denklemlerin örnek ifadeleri olarak n=2 ve n=3 için şu sonuçlar çıkarılır: :\begin2 \cos(2x) &= (\cos)^2 +((\cos)^2-1) &&= 2(\cos)^2-1\\ \sin(2x) &= 2(\sin)(\cos)\\ \cos(3x) &= (\cos)^3 +3\cos((\cos)^2-1) &&= 4(\cos)^3-3\cos\\ \sin(3x) &= 3(\cos)^2(\sin)-(\sin)^3 &&= 3\sin-4(\sin)^3\\ \end \cos(nx) için formülün sağ tarafı gerçekte \cos x değerli Çebişev polinomu olan T_n ifadesinin n(cosx) değeridir. Genelleştirme Bu formül yukarıda verilen hallerden daha geniş hallerde de geçerlidir. Eğer z ve w karmaşık sayılarsa, o halde :\left(\cos z + i\sin z\right)^w bir çokludeğerli fonksiyon olur ve :\cos (wz) + i \sin (wz)\, ise bir çokludeğerli fonksiyon olmaz. Böylece \cos (wz) + i \sin (wz) \, ifadesi sunun bir parcasidir \left(\cos z + i\sin z\right)^w\,. Uygulamalar Bu formül bir karmaşık sayı için ninci kökleri bulmak için kullanılabilir. Eğer z bir karmaşık sayı ise bu polar koordinatlı olarak şu şekilde yazılabilir: : z=r\left(\cos x+i\sin x\right),\, O halde : z^}= \left r\left( \cos x+i\sin x \right) \right^ }= r^} \left \cos \left( \frac \right) + i\sin \left( \frac \right) \right olur. Burada k tamsayıdır. z için n tane değişik kök bulmak için k nin 0 den n-1e aralığını incelemek gerekir. Ayrıca bakınız * Euler formülü * Birimin kökü * Abraham de Moivre Dış bağlantılar * Abramowitzm,M. ve Stegun,I.A. (1964) Handbook of Mathematical Functions, New York, Dover Publications, say. 74 (ISBN 0-486-61272-4) İngilizce. * De Moivre's Theorem for Trig Identities haz.: Michael Croucher, Wolfram Gösterim Projesi İngilizce.

Kaynaklar

Vikipedi

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.

Abraham de Moivre
3 yıl önce

de Moivre bir cerrah idi ve oğlunun iyi bir eğitim almasını istemekteydi. Abraham de Moivre'in ailesinin Protestan olmasına rağmen Abraham de Moivre Vitry'...

Stirling yaklaşımı
3 yıl önce

James Stirling'den almıştır fakat ilk kez Abraham de Moivre tarafından kayda geçirilmiştir. Formülün uygulamalardaki kullanımındaki tasviri aşağıdaki gibidir:...

Trigonometrik dönüşüm formülleri
3 yıl önce

Dönüşüm formülleri trigonometride kullanılan, toplam durumundaki iki trigonometrik ifadeyi çarpım haline getirmeye yarar. Bu işlemin amacı bazı özel durumlarda...

Trigonometrik dönüşüm formülleri, Trigonometri, Tümevarım
Olasılık
3 yıl önce

sonra 1713'te basılan) Ars Conjectandi adlı eseri ile 1718'de basılan Abraham de Moivre'ın Doctrine of Chances adlı eseri olasılıklar teorisini matematik...

Binom dağılımı
3 yıl önce

sağlamaktaydı. Normal dağılım ile yaklaşım ilk olarak 1733de Abraham de Moivre tarafından Şanslar için Doktrin adlı kitabında ortaya atılmıştır. Sonradan...

Binom dağılımı, Olasılık Dağılımları, Aralıklı olasılık dağılımı, Basıklık, Beklenen değer, Benford`un savı, Bernoulli dağılımı, Beta dağılımı, Binom dağılım, Bozulmuş dağılım, Digital object identifier
Karmaşık sayı
3 yıl önce

buna trigonometrik form denir ve bazen r cis φ olarak kısaltılır. Euler formülü kullanılarak şu şekilde gösterilebilir: z = r e i φ , {\displaystyle z=re^{i\varphi...

Karmaşık sayı, Cebirin temel teoremi, Cisim, Derece, Doğal sayılar, Eşlenik, Gerçel sayılar, Görüntü, Hiperbolik sayılar, Kök, Matematik
Blaise Pascal
3 yıl önce

Daha sonra kuramın geliştirilmesine katkıda bulunanlar arasında Abraham de Moivre ve Pierre-Simon Laplace da vardır. Edebiyatta, Pascal Fransız klasik döneminin...

Blaise Pascal, 1623, 1662, 19 Ağustos, 19 Haziran, Felsefe Portalı, Fransız, Kişi, Taslak, Wikimedia, Düşünceler
Normal Dağılım
3 yıl önce

dağılım, ilk olarak 1733'te Abraham de Moivre tarafından yayınlanan bir yazıda ilk ortaya çıkartılmıştır ve 1738'de yayınlanan The Doctrine of Chances...

Normal Dağılım, Karl Friedrich Gauss, Rassal değişken, Yoğunluk fonksiyonu, Hipergeometrik dağılım, Pierre Simon Laplace, Abraham de Moivre