Türkçe Bilgi logo TürkçeBilgi

Cauchy Çarpımı

Kısaca: Matematikte Cauchy çarpımı, ve gibi iki dizinin ...devamı ☟

Cauchy çarpımı, a_n ve b_n gibi iki dizinin :c_n=\sum_^n a_k b_ biçiminde ifade edilen süreksiz katlamasıdır. Kavram, Augustin Louis Cauchy tarafından bulunmuştur. İki dizinin çarpımına eşit olan ifade doğal sayılar kümesi (R[1]) yarıöbek halkasının bir elemanı olarak da değerlendirilmektedir. Diziler a_n ve b_n dizileri iki kurallı serinin (yakınsak olmaları gerekmiyor) terimleri olarak da düşünülebilir. :\sum_^\infty a_n,\qquad \sum_^\infty b_n Bu serilere daha çok gerçel ve karmaşık sayılarda rastlanmaktadır. n = 0, 1, 2, … değerleri için Cauchy çarpımı şu biçimde tanımlanır: :\left(\sum_^\infty a_n\right) \cdot \left(\sum_^\infty b_n\right) = \sum_^\infty c_n "Kurallı" terimi, diziler üzerinde gerçekleştirilen değişikliklerin yakınsaklık kavramını göz önüne almadan yapıldığını belirtmektedir. İki dizinin de yakınsadığı durumlarda akla :\sum_^\infty c_n sonsuz dizi toplamının :\left(\sum_^\infty a_n\right) \left(\sum_^\infty b_n\right) çarpımına eşit olduğu gelmektedir. Bu akıl yürütme kurallı durumlar için doğru sonucu vermektedir ancak iki dizinin Cauchy çarpımı dizilerin en az birinin yakınsak olmadığı durumlarda da tanımlıdır. == Örnekler Sonlu diziler Tüm i>n değerleri için x_i = 0 ve tüm i>m değerleri için y_i = 0 koşulları sağlanıyorsa \sum x ve \sum y'nin Cauchy çarpımı (x_0+\cdots + x_n)(y_0+\cdots+y_m) olarak hesaplanır. Bu, sonlu dizilerin Cauchy çarpımının olağan çarpma işlemine indirgenebildiğini göstermektedir.

Sonsuz diziler

* a,b\in\mathbb değerleri için x_n = a^n/n!\, ve y_n = b^n/n!\, eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. : C(x,y)(n) = \sum_^n\frac\frac} = \frac eşitliği tanım gereği sağlanır ve binom açılımı tarafından desteklenir. Kurallı diziler için geçerli olan \exp(a) = \sum x ve \exp(b) = \sum y eşitlikleri \exp(a+b) = \sum C(x,y) sonucunu doğurur. İki mutlak yakınsak dizinin Cauchy çarpımının limiti bu dizilerin limitleri çarpımına eşit olduğundan aşağıdaki ifade kanıtlanmış olur. \exp(a+b) = \exp(a)\exp(b) (tüm a,b\in\mathbb değerleri için) * Tüm n\in\mathbb değerleri için x(n) = 1 koşulu sağlanıyorsa C(x,x)(n) = n+1 eşitliği tüm n\in\mathbb değerleri için geçerlidir. Bu durumda Cauchy çarpımı :\sum C(x,x) = (1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots) olarak hesaplanır ve bu ifade yakınsamaz. == Yakınsaklık ve Mertens kuramı == x ve y gerçel diziler olmak üzere, \sum y dizisi Y'ye yakınsıyor ve \sum x dizisi X'e mutlak yakınsıyorsa bu dizilerin Cauchy çarpımı ( \sum C(x,y)) XY'ye yakınsar. Franz Mertens tarafından kanıtlanan bu kuram, iki dizinin koşullu yakınsak olmaları durumunda geçerli değildir. Örneğin, x_n = (-1)^n /n dizisi bir koşullu yakınsak dizi üretir ancak C(x,x) sıfıra yakınsamamaktadır.

Mertens kuramının kanıtı

X_n = \sum_^n x_i, Y_n = \sum_^n y_i ve C_n = \sum_^n C(x,y)(i) eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. Terimlerin yerlerinin değiştirilmesiyle C_n = \sum_^n \sum_^i x_k y_ = \sum_^n Y_i x_ sonucuna ulaşılır ve böylece C_n = \sum_^n(Y_i-Y)x_+YX_n eşitliği sağlanır. ε > 0 olmak koşuluyla, \sum x mutlak yakınsak ve \sum y yakınsak olduğundan tüm n ≥ N değerleri için |Y_n-Y|<\frac^\infty |x_n|+1} eşitsizliğini sağlayan bir N tamsayısı ve tüm n\geq M değerleri için |x_|<\frac eşitsizliğini sağlayan bir M tamsayısı bulunur. Ayrıca, n\geq L koşulu sağlanıyorsa |X_n-X|<\frac eşitsizliğini sağlayan bir L tamsayısı da bulunur. Böylece; N, M ve L'den büyük tüm n tamsayıları için :|C_n - XY| = |\sum_^n (Y_i-Y)x_+Y(X_n-X)| \leq \sum_^ |Y_i-Y||x_|+\sum_^n |Y_i-Y||x_|+|Y||X_n-X|<\varepsilon eşitsizliği yazılabilir. Dizi yakınsaklığı tanımı gereği \sum C(x,y)\to XY ifadesi de geçerlidir. == Cesàro kuramı x ve y gerçel diziler olmak üzere \sum x\to A ve \sum y\to B ise : \frac\left(\sum_^n C(x,y)_n\right)\to AB ifadesi yazılabilir. Genellemeler == Şu ana dek açıklanan tüm kavramlar \mathbb (karmaşık sayılar) kümesinde tanımlı diziler için geçerlidir. Cauchy çarpımı, çarpma işleminin iç çarpım olarak tanımlandığı \mathbb^n uzaylarında (Öklit uzayları) da tanımlıdır. Bu tanıma göre, iki dizinin mutlak yakınsıyor oluşu bu dizilerin Cauchy çarpımının dizi limitlerinin iç çarpımına mutlak yakınsadığı anlamına gelmektedir.

İşlev katlamasıyla ilişkisi

Çifte sonsuz diziler için de Cauchy çarpımı tanımı yapılabilmektedir ancak çarpım her koşulda tanımlı değildir. Örneğin, 1 sabit dizisinin kendisiyle Cauchy çarpımı ((\dots,1,\dots)) tanımsızdır. *

Kaynaklar

Vikipedi

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.

Cauchy-Schwarz eşitsizliği
6 yıl önce

Cauchy-Schwarz eşitsizliği (bazen Schwarz eşitsizliği veya Cauchy eşitsizliği veya Cauchy-Schwarz-Bunyakovski eşitsizliği olarak anılıp) Matematik bilimi...
Nokta çarpım
6 yıl önce

-4) + (5 x 2) = -3 + 8 + 10 = 15 sonucunu verir. Cauchy–Schwarz eşitsizliği çapraz çarpım Matris çarpımı nokta izdüşüm Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001)...
Franz Mertens
3 yıl önce

kümesini geçter ve M Meissel-Mertens sabitidir. Ayrıca iki serinin Cauchy çarpımı üzerine yaptığı analiz teoremi ile de tanınır. Erwin Schrödinger'e Mertens...
Cauchy integral formülü
3 yıl önce

Matematikte, Augustin Louis Cauchy'nin ardından adlandırılan Cauchy integral formülü karmaşık analizde merkezi bir ifadedir. Bir disk üzerinde tanımlanmış...
Holomorfik fonksiyon
3 yıl önce

yönünden yaklaşılırsa, o zaman görüntüler de çarpımın karmaşık sayılar çarpımı olduğu f '(z0) r çarpımı yönünden f(z0) noktasına yaklaşır. Türevliliğin...
Korelasyon
3 yıl önce

hesaplanırken kullanılan, ağırlık ile ağırlığın destek noktasına olan uzaklığın çarpımı ile her bir değişkenin ortalamaya olan uzaklıklarının bulunması arasındaki...

Korelasyon, Kovaryans, İstatistik, Cauchy-Schwarz eşitliği, Francis Galton, Pearson moment çarpım korealsyon katsayısı
Çizgi integrali
3 yıl önce

problem iki tane gerçel integralin bulunması problemine düşürülebilir, Cauchy integral formülü diğer durumlarda kullanılabilir. Eğer çizgi integralinin...
Cebirin Temel Teoremi
3 yıl önce

sayıda doğrusal fonksiyonların çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu doğrusal fonksiyonların üniter olması isteniyorsa bu çarpımın başına bir karmaşık sayı eklenir...

Cebirin Temel Teoremi, Karmaşık sayılar, Matematik, Polinom, Taslak