Türkçe Bilgi: Asal Kök

Bir asal kök modülü n sayılar teorisindeki modüler aritmetikten bir kavramdır. Eğer ``n`` ≥ 1 olan bir tamsayı ise, n formuna göre aralarında asal sayılar mod n`e göre çarpılarak, bir grup oluşturacak şekilde yapılan işlem,(Z/``nZ)^× veya Z_n^* olarak gösterilir. Bir asal sayı için ``p`` ≥ 3 ve ``k`` ≥ 1 ise, bu grup ancak ve ancak 1, 2, 4, ``p``^``k``, veya 2 ``p``^``k`` `ya denktir. Bu döngüsel grubun bir üreteci asal kök modülü n veya Z_n^* `in bir asal elemanıdır şeklinde tanımlanır.

Bir asal kök modülü n, diğer bir değişle, mod n`e göre ``g`` gibi öyle bir tamsayıdırki n`le beraber ortak çarpanı olmayan her tamsayı, ``g`` `nin bir kuvvetine denktir. Örneğin n=14 alalım.(Z/14Z)^× `in elemanları

1, 3, 5, 9, 11 ve 13 `ün denk sınıflarından oluşur.

mod 14`e göre 3² &equiv; 9, 3³ &equiv; 13, 3⁴ &equiv; 11, 3⁵ &equiv; 5 ve 3⁶ &equiv; 1 olduğundan, ``3`` mod 14`e göre bir asal köktür. Mod 14 için diğer ve tek asal kök ise 5`tir.


n   n^k (mod 14) &ndash; (satırlardaki değerler döngüsel şarta bağlı olarak tekrardan sonra kesilmiştir)
1 :  1,
2 :  2, 4, 8 
3 :  3, 9, 13, 11, 5, 1 
4 :  4, 2, 8 
5 :  5, 11, 13, 9, 3, 1
6 :  6, 8
7 :  7,
8 :  8,
9 :  9, 11, 1
10 : 10, 2, 6, 4, 12, 8
11 : 11, 9, 1
12 : 12, 4, 6, 2, 10, 8
13 : 13, 1

14 :  0,

14`le aralarında asal olan sayılar yalnızca kuvvetlerinden biri 1 (mod 14)`e ulaşan sayılardır. Bu sayıların oluşturduğu küme S = (1, 3, 9, 13, 11, 5)`dir.

Problemi ``f``(``n``, ``k``) = ``n^k`` − 1 &equiv; 0 (mod 14) gibi ele alırsak, ``n`` için tasarlanan köklerin ``k`` > 0 olan kuvvetleri için bir polinom sağladığını görürüz. S kümesindeki elemanların tümü, R =  kümesindeki sayılardan ve onların kuvvetlerinden elde edilebilir. Ama örneğin 11`den ve onun kuvvetlerinden elde edilemez (mod 14 için). S kümesi tüm kökleri içerir. R kümesi ise asal kökleri içerir. Bunların (mod 14)`e göre tüm kuvvetleri döngüsel olarak tüm kökleri elde eder.

Kaynaklar

Vikipedi

Asal Kök

Asal Kök Hakkında Detaylı Bilgi

Kaynaklar

İlgili konular

Görüşler ve Yorumlar