İyi-Sıralılık Ilkesi

Kısaca: Küme Kuramının Teoremi ...devamı ☟

Küme Kuramının Teoremi

İyi-sıralılık ilkesi, küme kuramının bir önermesidir:

Her küme iyi sıralı bir küme yapılabilir.


Bu teorem yararlıdır çünkü sonluötesi tümevarımın her kümede uygulanabilmesini sağlar. İyi-sıralılık ilkesi seçim aksiyomuna denktir.

Georg Cantor iyi-sıralılık ilkesini "temel bir uslamlama kuralı" olarak kabul ediyordu. Buna karşın çoğu matematikçi örneğin \R (Reel Sayılar) kümesinin iyi-sıralı bir küme yapılabileceğinden kuşku duymaktaydı. Örneğin 1904 yılında Julius König bunu tanıtladığını düşünüyordu fakat Felix Hausdorff kısa bir süre sonra tanıtlamada bir hata buldu. Ernst Zermelo, iyi-sıralılık ilkesini tanıtlamak için seçim aksiyomunu "kuşku duyulmaz mantıksal bir ilke" olarak kabul etmiş ancak yine kısa bir süre sonra bu aksiyomun iyi-sıralılık ilkesine denk olduğu anlaşılmıştır. Seçim aksiyomu, dolayısıyla iyi-sıralılık ilkesi, Zermelo-Fraenkel-Küme-Kuramı`ndan bağımsızdır. Başka bir deyişle hem bu ilke hem de karşıtı, çelişki doğmadan doğru olarak kabul edilebilir.

Doğal sayıların özelliği

Bazen iyi-sıralılık ilkesi doğal sayıların iyi sıralı olma özelliğini belirtir:

Doğal sayıların boş olmayan her altkümesinde en küçük bir sayı bulunur.


Bu durumdan bazen sonsuz düşüş yöntemini kullanan tanıtlamalarda yararlanılır: Bir ``S`` kümesinin tüm doğal sayıları içerdiğini tanıtlamak için tümünü içermediği varsayılabilir ve iyi-sıralılık ilkesi nedeniyle kümenin içermediği en küçük bir doğal sayı bulunur (``en küçük karşı örnek``). Bu aşamada daha da küçük bir karşı örnek bulunduğu gösterilirse bir çelişki ortaya çıkar. (Alternatif şekilde her karşı örnek için daha küçük bir örnek sayı olduğu dolayısıyla sonsuz şekilde düşülebileceği gösterilebilir; fakat bu durum doğal sayılarda olanaklı değildir.)

Bu tanıtlama yöntemi matematiksel tümevarımın tersidir (aynen "değil-B gerektirir değil-A", "A gerektirir B" ifadesinin tersi olması gibi) fakat yine de doğal sayıların iyi-sıralılık özelliğine dayanır.

Kaynaklar

Vikipedi

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.