--}}

Üstel Dağılım

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında üstel dağılımı bir sürekli olasılık dağılımları grubudur.

Başka dilden çevrilmekte

Olasılık dağılımı |
isim   =Üstel|
tip    =yoğunluk|
pdf_image =|
cdf_image =|
parametreler =\lambda > 0 \, oran veya ters ölçek (reel)|
destek  =[0, \infty)\!|
OYF   =\lambda e^|
YDF    =1 - e^|
ortalama    =\frac\,|
medyan   =\frac\,|
mod    =0\,|
varyans  =\lambda^\,|
çarpıklık  =2\,|
basıklık =6\,|
entropi  =1 - \ln(\lambda)\,|
mf    =\left(1 - \frac\right)^\,|
kf    =\left(1 - \frac\right)^\,


Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında üstel dağılımı bir sürekli olasılık dağılımları grubudur. Sabit ortalama değişme haddinde ortaya çıkan bağımsız olaylar arasındaki zaman aralığını modelleştirirken bir üstel dağılım doğal olarak ortaya çıkar.

Tipik karakteristikler

Olasılık yoğunluk fonksiyonu



Bir üstel dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekli alır:

f(x;\lambda) = \left\ \lambda e^ &,\; x \ge 0, \0 &,\; x < 0. \end\right.

Burada &lambda; &gt; 0 dağılım için tek parametredir ve cok zaman ``oran parametresi`` olarak anılır. Dağılım için destek [0,&infin;) aralığında verilir. Eğer ``X`` rassal değişkeni bu üstel dağılım gösteriyorsa bu şöyle yazılır:
``X`` ~ Üstel(&lambda;).


Ancak bir diğer şekilde değişik parametreleme ile ise üstel dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle ifade edilir:

f(x;\beta) = \left\ \frac e^ &,\; x \ge 0, \0 &,\; x < 0. \end\right.

Burada &beta; > 0 bir ölçek parametresidir ve yukarıda tanımlanan ``oran parametresi`` olan &lambda;`nın bir üstü değeri çarpım tersi, yani &beta;=1/&lambda; dır. Bu çeşit tanımlamada &beta; ``kalım parametresi`` çünkü eğer bir rassal değişken ``X`` bir biyolojik veya mekanik sistem ``M`` için ömür geçirme zaman uzunluğu ise ve ``X`` ~ Üstel(&beta;) ise
\mathbb[1] = \beta
yani ``M`` için beklenen hayatta kalım süresi zaman birimleri ile &beta; olur.

Bu ikinci şekilde tanımlama bazan birinci tanımlamadan daha kullanışlı olur ve bazı istatistikçiler bu ikinci tanımı üstel dağılım için standard tanım kabul etmektedirler.

Bu gerçek dikkat çekilmesi gereken bir konu olarak burada işaret edilmektedir. Çünkü iki değişik tanım bazan bir kavram karmaşaklığına neden olmaktadır. Genel olarak üstel dağılımı kullanan istatistikçi birinci tanım kullanırsa
X`` ~ Üstel(&lambda;)
ve ikinci tanımı kullanırsa
X`` ~ Üstel(&beta;)
yazılır ve &beta;=1/&lambda; olur.

Yığmalı dağılım fonksiyonu



Genel olarak kullanılan bir yönteme göre yığmalı dağılım fonksiyonu şu ifade ile verilir:

F(x;\lambda) = \left\ 1-e^&,\; x \ge 0, \0 &,\; x < 0. \end\right.

Özellikler

Ortalama ve varyans



Bir ``&lambda;`` oran parametresi ile ustel dağılım gösteren bir ``X`` rassal değişkeni için ortalama veya beklenen değer şöyle verilir:

\mathrm[2] = \frac. \!


Bu verilen pratik örneklerden sağduyu ile çıkarılabilir. Örneğin eğer telefon çağrı ortalama oranı saatte 3 ise (&lambda;), her telefon çağrısı için ortalama 1/3 saat veya 20 dakika (&beta;) beklemek gerekmektedir

``X`` icin varyans şöyle verilir

\mathrm[3] = \frac. \!


Belleksizlik



Üstel dağılımın bir önemli niteliği de belleksiz olmasıdır. Bu demektir ki eğer bir rassal değişken ``T`` üstel dağılım gösteriyorsa, onun koşullu olasılığı

P(T > s + t\; |\; T > s) = P(T > t) \;\; \hbox\ s, t \ge 0.


ifadesine uygunluk gösterir. Buna göre, bir hizmet noktasındaki hizmet ve bekleme kuyruğu problemi örneği için bir koşullu olasılık olan ilk varışın 30 saniye geçtikten sonra ortaya çıkmadığını bilerek ilk varıştan sonra 10 saniyeden daha fazla beklemek gereğinin olasılığının, birinci varıştan sonra 10 saniyeden daha fazla bekleme gereğinin koşulsuz başlangıç olasığı arasında bir fark yoktur. Bu çok kere olasılık hesaplarını ilk gören kişiler tarafından yanlış anlaşılmaktadır:

P(``T`` > 40 | ``T`` > 30) = P(``T`` > 10)


gerçeği

``T``>40 ve ``T``>30


olayları birbirinden [4]]dır anlamına gelmez. İlk varışa kadar ``T`` bekleme zamanının olasılık dağılımının ``belleksizlik`` karakteri olduğunu bildirmek

\mathrm\ P(T>40 \mid T>30)=P(T>10).


olur demektir; yoksa

\mathrm\ P(T>40 \mid T>30)=P(T>40).


demek değildir çünkü bu ikinci ifade bağımsızlık kavramını açıklar ve burada olaylar bağımsız değildir.

Bütün mevcut dağılımlar arasında sadece üstel dağılımlar ve geometrik dağılımlar belleksizlik özelliği taşırlar.

Üstel dağılımının ayrıca sabit bir tehlike fonksiyonu bulunmaktadır.

Dörtebirlikler



Bir &lambda; parametreli üstel dağılım için (ters yığmalı dağılım fonksiyonu) şudur:

F^(p;\lambda) = \frac, \!


burada 0 &le; ``p`` < 1.

Onun için şu ifadeler dörttebirlikler verir:

; birinci dörttebirlik : \ln(4/3)/\lambda\, ; medyan : \ln(2)/\lambda\, ; üçüncü dörttebirlik : \ln(4)/\lambda\,

Kullback-Leibler ayrılımı



`Gerçek` üstel dağılım olan Exp(&lambda;0) ile (`yaklaşık` dağılım) olan Exp(&lambda;) arasında yönlendirilmiş Kullback-Leibler ayrılımı şöyle verilir:

\Delta(\lambda || \lambda_0) = \log(\lambda) - \log(\lambda_0) + \frac - 1.

Maksimum entropi dağılımı



[0,&infin;) and mean &mu;, de destekli bulunan bütün sürekli olasılık dağılımları arasında sadece &lambda; = 1/&mu; parametresi ile üstel dağılımın en yüksek entropi bulunmaktadır.

Üstel rassal değişirlerin minimumu için dağılım



``X``1, ..., ``X````n`` bağımsız oran parametreleri ``&lambda;``1, ..., ``&lambda;````n`` olan üstel olarak dağılım gösteren rassal değişkenler olsun. Bu halde

\min\

ifadesi de üstel dağılımdır ve bu dağılımın parametresi

\lambda = \lambda_1+\cdots+\lambda_n.\,

olur.

Fakat,

\max\

üstel dağılım göstermez.

Parametre tahmin edilmesi

Verilmiş bir değişkenin üstel dağılım gösterdiği bilinmiş olsun ve oran parametresi olan &lambda;nın değerinin tahmin edilmesi gerekmektedir.

Maksimum olabilirlilik



İlgi gösterilen değişkenden bir bağımsız aynen dağılma gösteren örneklem ``x`` = (``x``1, ..., ``x````n``) olarak seçilsin; o halde &lambda; için olabilirlilik fonksiyonu şöyle verilir:

L(\lambda) = \prod_^n \lambda \, \exp(-\lambda x_i) = \lambda^n \, \exp\!\left(\!-\lambda \sum_^n x_i\right)=\lambda^n\exp\left(-\lambda n \overline\right),


burada

\overline=\sum_^n x_i


örnek ortalamasıdır.

Olabilirlik fonksiyonunun logaritmasının türevi şudur:

\frac\lambda} \ln L(\lambda) = \frac\lambda} \left(n \ln(\lambda) - \lambda n\overline \right) = -n\overline\ \left\ > 0 & \mbox\ 0 < \lambda < 1/\overline, \\ \\ = 0 & \mbox\ \lambda = 1/\overline, \\ \\ < 0 & \mbox\ \lambda > 1/\overline. \end\right.


Bu nedenle oran parametresinin maksimum olabilirlilik tahmini şöyle verilir:

\widehat = \frac1{\overline{x.


Bayes tipi sonuç çıkartıcı analiz



Bir üstel dağılımın eşlenik önseli bir gamma dağılımı olur (çünkü üstel dağılım bir özel hal gamma dağılımıdır). Gamma olasılık dağılım fonksiyonunun şu çeşit parametrik tanımı analizde kullanılacaktır:

\mathrm(\lambda \,;\, \alpha, \beta) = \frac \, \lambda^ \, \exp(-\lambda\,\beta). \!


Bu halde ``p`` için sonsal dağılım yukarıda tanımlanan olabilirlilik fonksiyonu ve bir gamma önsel ile şöyle ifade edilebilir:

p(\lambda) \propto L(\lambda) \times \mathrm(\lambda \,;\, \alpha, \beta)


= \lambda^n \, \exp(-\lambda\,n\overline) \times \frac \, \lambda^ \, \exp(-\lambda\,\beta)


\propto \lambda^ \, \exp(-\lambda\,(\beta + n\overline)).


Şimdi ``p`` için sonsal yoğunluk bir kayıp olmuş normalizasyon sabiti değerine kadar tanımlanmıştır.

Bunun dağılımı gamma olduğu için bu eksiklik hemen tamamlanabilir ve şu ifade elde edilir:

p(\lambda) = \mathrm(\lambda \,;\, \alpha + n, \beta + n \overline).


Burada parametre &alpha; önsel gözlemlerin sayısı olarak yorumlanabilir ve &beta; önsel gözlemlerin toplamıdır.

Üstel değişebilirleri üretme

Üstel değişebilir için üstel dağılım üreten kavramsal olarak bir basit yöntem ters dönüşüm örnekleme dayanır: Verilmiş olan bir birim aralıkta, yani [5] arasında, bulunan bir tekdüze dağılım çekilmiş ``U`` rassal değişebiliri verilmiş olsun,

T = F^(U) \!


değişebiliri bir üstel dağılım gösterir ve F^ ifadesi

F^(p)=\frac. \!


ile tanımlanmış bir fonksiyonu] olur.

Bunun yanında, eğer ``U`` (0; 1) aralığında bir tekdüze dağılım gösterirse, 1-U için de aynı özellik gerçektir. Bu demektir ki şu şekilde üstel değişebilirler üretilebilir:

T = \frac. \!


Üstel değişebilirlerin diğer yöntemlerle üretilebilmesi Knuth`da Donald E. Knuth (1998). ``The Art of Computer Programming``, Cilt 2: ``Seminumerical Algorithms``, 3. ed. Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-89684-2. ``Bak bölüm 3.4.1, say. 133.`` ve Luc Devroye da Luc Devroye (1986). `` Tekdüze olmayan rassal değişebilir üretimi``. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96305-7. ``Bak Bölüm IX, kısım 2, say. 392-401.`` görülebilir.

Üstel değişebilirleri üretmek için bir hızlı yöntem algoritması iledir.

İlişkili dağılımlar

  • Bir üstel dağılım bir gamma dağılımının bir özel halidir ve kullanılan parametre setine göre
\alpha = 1 veya k=1 olur.

  • Hem bir üstel dağılım ve hem de bir gamma dağılım, faz-tipi dağılımın ozel halleridir.
  • Eğer
Y = X^\, ve X \sim\operatorname(\lambda^)
ise
Y \sim \operatorname(\gamma, \lambda),
olur yani ``Y`` Weibull dağılım gösterir. Özellikle, her üstel dağılım da bir Weibull dağılımıdır.

  • Eğer
Y = \sqrt ve X \sim \operatorname(\lambda).
ise
Y \sim \operatorname(1/\lambda)
olur; yani ``Y`` bir Rayleigh dağılımı gösterir.

  • Eğer
Y = \mu - \beta \log(X/\lambda)\, ve X \sim \operatorname(\lambda).
ise
Y \sim \operatorname(\mu, \beta),
olur yani ``Y`` Gumbel dağılımı gösterir.

  • Eğer iki bağımsız üstel dağılımı olan X_1\, ve X_2\, için Y = X_1 - X_2\, ise
; Y \sim \operatorname olur yani ``Y`` Laplace dağılımı gösterir.

  • Bağımsız üstel dağılımlar olan X_i\, için
Y = \min(X_1, \dots, X_N)
ise
Y \sim \operatorname
olur; yani ``Y`` bir üstel dağılım gösterir.

  • Eger
Y = \exp(-X\lambda)\, and X \sim \operatorname(\lambda)
ise
Y \sim \operatorname(0,1),
olur yani ``Y`` tekdüze dağılım gösterir.

  • Eğer
X \sim \operatorname(\lambda = 1/2)\,\;.
ise X \sim \chi_2^2 olur yani ``X`` icin 2 serbestlik derecesi olan ki-kare dağılımı gecerlidir.

  • X_1\dots X_n \sim \operatorname(\lambda)\, üstel dağılımlı ve bağımsız olsun ve Y = \sum_^n X_i\, olsun; o halde Y \sim \operatorname(n,1/\lambda)\,
  • X \sim \operatorname(\theta)\, ise \operatorname(1 + e^) \sim \operatorname(\theta)\, olur


Kaynak

  • Kaynak wiki|url=http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Exponential_distribution|tarih=25 Mart 2008|
dil=İngilizce|madde=Exponential_distribution

Referanslar



Olasılık Dağılımları|Üstel dağılım

Kaynaklar

Vikipedi

İlgili konuları ara


Görüşler

Bu konuda henüz görüş yazılmamış.
Gürüş/yorum alanı gerekli.
Markdown kodları kullanılabilir.

Üstel Dağılım
Üstel dağılım